Функции: монотонность, неравенства и прогрессии

Функция и её значения
$f(a)$ получается подстановкой $a$ вместо $x$. Точка $M(a;b)$ принадлежит графику, если $f(a)=b$, а нуль функции — это решение уравнения $f(x)=0$.

Линейная функция
$f(x)=ax+b$: при $a>0$ строго возрастает, при $a<0$ строго убывает. График — прямая, а $b=f(0)$.

Квадратичная функция
$f(x)=a{x}^2+bx+c$ при $a\ne 0$:

• вершина $V\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$; при $a>0$ она даёт минимум, при $a<0$ максимум
• знак трёхчлена: при $a>0$ он отрицателен между корнями и положителен вне их
• неравенство $a{x}^2+bx+c\le 0$ решают через корни и таблицу знаков, а не сокращениями

Показательная функция
$f(x)=a^x$ при $a>0$ и $a\ne 1$:

• при $a>1$ строго возрастает, при $0<a<1$ строго убывает
• отрицательный показатель переворачивает основание: ${\left(\frac{3}{a}\right)}^{-x}={\left(\frac{a}{3}\right)}^x$, поэтому функция возрастает ровно тогда, когда перевёрнутое основание больше единицы: $\frac{a}{3}>1$
• любое число в нулевой степени равно $1$, поэтому $1={\left(\sqrt{5}-2\right)}^0$; так как $\sqrt{5}-2<1$, функция убывает и ${\left(\sqrt{5}-2\right)}^{10}<1$

Неравенства со значениями двух функций
Когда спрашивают, где $g(x)\le f(x)$, запиши неравенство и приведи его к знакомому виду:

1. 1)перенеси всё в одну часть;
2. 2)если появилась дробь с $x$ в знаменателе, определи знак $x$ до умножения: умножение на отрицательное число меняет знак неравенства;
3. 3)реши полученное квадратное неравенство;
4. 4)пересеки с условием задачи, например $x<0$ или «$x$ целое».

Для $3x+2\ge \frac{5}{x}$ при $x<0$ умножение на $x$ даёт $3x^2+2x-5\le 0$, откуда $x\in \left[-\frac{5}{3};1\right]$, а с условием $x<0$ остаётся $x\in \left[-\frac{5}{3};0\right)$.

Арифметическая прогрессия
$a_n=a_1+(n-1)r$, причём $a_{n+k}-a_n=kr$. Сумма первых $n$ членов равна $S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$. Чтобы понять, является ли число членом прогрессии, реши $a_n=$ это число и проверь, что $n$ — натуральное.

Геометрическая прогрессия
$b_n=b_1{q}^{n-1}$, а для трёх последовательных членов $b^2=ac$. Пары соседних членов связаны степенями знаменателя: из $b_3+b_4=q^2(b_1+b_2)$ находится $q^2$.

Квадратичная функция, коротко
Вершина — $V\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$: при $a<0$ вторая координата даёт наибольшее значение, при $a>0$ — наименьшее. Знак трёхчлена читается по таблице знаков, а в неравенствах концы входят в ответ только при $\le$ и $\ge$.

Прогрессии: чего требует схема проверки

• из двух условий составляется система: $a_4=10$ и $a_{10}-a_3=21$ дают $7r=21$, значит $r=3$ и $a_1=1$
• общий член принимает вид $a_n=3n-2$, а вопрос, является ли число членом прогрессии, решается уравнением $3n-2=2026$ во множестве натуральных чисел
• в геометрической прогрессии пары членов связаны степенями знаменателя: $b_3+b_4=q^2\left(b_1+b_2\right)$, откуда $q^2=4$, а затем и $b_1$

Где теряются баллы
Большая часть баллов теряется на последнем шаге, а не в вычислении: даёшь промежуток там, где просят целые числа, забываешь условие $x<0$ после умножения неравенства на $x$ или останавливаешься на значении $n$, не ответив на сам вопрос. Перечитай условие перед тем, как записать окончательный ответ.