Analiză matematică: limite, derivate, integrale

Mulțimea valorilor
Pornești de la o inegalitate sigură și o duci până la $f(x)$: din $|x|\ge 0$ rezultă $-2|x|\le 0$, deci $f(x)=3-2|x|\le 3$ și $E(f)=(-\infty ;3]$.

Progresii

• aritmetică: $a_n=a_1+(n-1)r$, iar $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$
• geometrică: $b_n=b_1{q}^{n-1}$, iar pentru trei termeni consecutivi $b^2=ac$, de unde $a=\sqrt{27\cdot 12}=18$
• suma primilor $n$ termeni ai progresiei aritmetice: $S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$

Limite

• limite remarcabile: $\underset{u\to 0}{\lim }\frac{\sin u}{u}=1$, $\underset{u\to 0}{\lim }\frac{e^u-1}{u}=1$, $\underset{u\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+u)}{u}=1$
• la nedeterminarea $\frac{0}{0}$ dai factor comun și simplifici; la $\frac{\infty }{\infty }$ împarți la puterea cea mai mare
• ca să folosești limita remarcabilă, amplifici cu argumentul: $\frac{1}{\sin \left(x^2+2x\right)}=\frac{1}{x^2+2x}\cdot \frac{x^2+2x}{\sin \left(x^2+2x\right)}$

Derivate

• ${\left(x^{\alpha }\right)}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}$, $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$, ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$, $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$
• produs: $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$; cât: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$; compunere: ${\left(f(u)\right)}^{\prime }=f^{\prime }(u)\cdot u^{\prime }$
• ${\left(e^{x^2}\right)}^{\prime }=2x{e}^{x^2}$, iar ${\left(x{e}^{x^2}\right)}^{\prime }=e^{x^2}+2x^2{e}^{x^2}$

Tangenta
Ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0$ este $y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$. Ai nevoie de două numere: valoarea funcției și valoarea derivatei în acel punct.

Monotonie și extreme

1. 1)Calculezi $f^{\prime }(x)$ și rezolvi $f^{\prime }(x)=0$.
2. 2)Faci tabelul de semne al derivatei pe domeniul de definiție.
3. 3)Acolo unde derivata trece de la plus la minus este maxim local, iar de la minus la plus, minim local. Pentru $f(x)=\frac{\ln x}{x}$, $f^{\prime }(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$, care se anulează în $x=e$, punct de maxim local.

Asimptote

• verticală în $x=a$, dacă o limită laterală în $a$ este infinită
• orizontală la $+\infty$, dacă $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$ este finită
• oblică $y=mx+n$, cu $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ și $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(f(x)-mx\right)$; dacă $m$ nu este finit și nenul, asimptota oblică nu există

Primitive și integrale

• $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C$ pentru $\alpha \ne -1$, $\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C$
• integrarea prin părți: $\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx$; pentru $\frac{\ln x}{x^2}$ iei $g^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2}$, deci $g(x)=-\frac{1}{x}$
• constanta $C$ se află din condiția dată: dacă $F(1)=0$, înlocuiești $x=1$ în primitivă
• Newton–Leibniz: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$, iar aria dintre grafic și $Ox$ pe $[a;b]$, când $f\ge 0$, este chiar această integrală

Derivatele care apar în teste

• ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$, ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$
• ${\left(e^u\right)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$ și ${\left(\ln u\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$, deci ${\left(e^{x^2}\right)}^{\prime }=2x{e}^{x^2}$
• produsul și câtul cer regula completă: ${\left(x{e}^{x^2}\right)}^{\prime }=e^{x^2}+2x^2{e}^{x^2}$, iar ${\left(\frac{\ln x}{x^2}\right)}^{\prime }=\frac{1-2\ln x}{x^3}$

Tabelul de semne, pas cu pas

1. 1)Scrii domeniul de definiție, fiindcă semnul se studiază numai acolo.
2. 2)Rezolvi $f^{\prime }(x)=0$ și treci zerourile pe axă.
3. 3)Alegi câte o valoare de probă în fiecare interval și notezi semnul derivatei.
4. 4)Citești monotonia și extremele: trecerea de la plus la minus dă maxim, cea de la minus la plus dă minim.

Unde se pierd punctele

• tangenta scrisă fără $f(x_0)$, deși forma corectă este $y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$
• extremul declarat direct din $f^{\prime }(x)=0$, fără tabelul de semne, care se punctează separat
• primitiva lăsată cu $C$ nedeterminat, deși condiția din enunț îl fixează
• limitele de integrare luate invers la calculul unei arii