Funcții: grafice, funcția liniară și cea de gradul II

Ce este o funcție
O funcție $f:A\to B$ atribuie fiecărui $x$ din $A$ exact o valoare $f(x)$ din $B$. A calcula $f(a)$ înseamnă a înlocui $x$ cu $a$: pentru $f(x)=3x-5$, $f(4)=3\cdot 4-5=7$.

Zerourile și semnul

• zeroul funcției este soluția ecuației $f(x)=0$; graficul taie axa $Ox$ în acel punct
• $f(0)$ este tăietura cu axa $Oy$
• un punct $M(a;b)$ aparține graficului dacă și numai dacă $f(a)=b$

Funcția liniară
$f(x)=ax+b$, cu graficul o dreaptă:

• $a$ este panta: pentru $a>0$ funcția este strict crescătoare, pentru $a<0$ strict descrescătoare, iar pentru $a=0$ graficul este o dreaptă orizontală
• $b$ este valoarea de start, adică $f(0)$
• la tarife, $b$ este taxa fixă, iar $a$ este costul pentru fiecare unitate: $f(x)=20+3x$ înseamnă $20$ de lei plată fixă și $3$ lei pe kilometru
• ca să afli $x$ dintr-o valoare dată, rezolvi ecuația: din $20+3x=50$ rezultă $x=10$

Funcția de gradul II
$f(x)=a{x}^2+bx+c$, cu $a\ne 0$, are ca grafic o parabolă:

• pentru $a>0$ ramurile sunt în sus și funcția are valoare minimă; pentru $a<0$ ramurile sunt în jos și funcția are valoare maximă
• vârful este $V\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$, iar a doua coordonată este chiar valoarea minimă sau maximă
• abscisa vârfului este și axa de simetrie a parabolei
• zerourile se află din $a{x}^2+bx+c=0$, cu $\Delta =b^2-4ac$

Citirea graficului

1. 1)Vezi ce se dă: o valoare pe axa $Ox$ sau una pe axa $Oy$.
2. 2)Dacă se dă $y$, mergi orizontal până la grafic, apoi cobori la axa $Ox$; dacă se dă $x$, urci de pe $Ox$ la grafic și citești pe $Oy$.
3. 3)Verifică prețul unei diviziuni pe fiecare axă: ele nu au mereu aceeași scară.

Compararea a două formule
Când două prețuri sunt date prin $f(x)$ și $g(x)$:

• momentul în care sumele sunt egale se află din ecuația $f(x)=g(x)$
• pentru o valoare cerută, calculezi $f$ și $g$ în acel punct și compari numerele obținute
• răspunsul se scrie în cuvintele problemei, nu doar ca număr

Punctele graficului
Un punct $M(a;b)$ aparține graficului dacă și numai dacă $f(a)=b$. De aici se rezolvă și cerințele cu casetă: dacă se cere un număr întreg astfel încât $M(\square ;3)$ să fie pe grafic, rezolvi ecuația $f(x)=3$ și alegi soluția întreagă.

Graficul unui tarif
O dreaptă care nu trece prin origine descrie un tarif cu două componente: tăietura cu axa $Oy$ este taxa fixă, iar panta este costul fiecărei unități. Ca să afli distanța plătită, pornești de la valoarea de pe $Oy$, mergi orizontal până la grafic și cobori pe $Ox$; ca să afli suma, faci drumul invers.

Funcția de gradul II la gimnaziu
Vârful $V\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$ dă valoarea minimă pentru $a>0$ și pe cea maximă pentru $a<0$, de aceea orice cerință despre valoarea maximă începe cu verificarea semnului lui $a$.

Unde se pierd punctele
Punctele se pierd la citirea graficului, când se confundă axele sau prețul unei diviziuni, și la final, când se dă momentul egalității în locul răspunsului cerut de întrebare.