Geometrie: triunghiuri, patrulatere, cerc și corpuri

Unghiuri și triunghiuri

• suma unghiurilor unui triunghi este $180^{\circ }$, iar a unui patrulater $360^{\circ }$
• într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt congruente; în cel echilateral toate au $60^{\circ }$
• linia mijlocie unește mijloacele a două laturi, este paralelă cu a treia și egală cu jumătate din ea

Triunghiul dreptunghic

• teorema lui Pitagora: $i^2=c_1^2+c_2^2$, de exemplu $9$ și $12$ dau ipotenuza $15$
• cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză
• în triunghiul dreptunghic isoscel cu cateta $c$, ipotenuza este $c\sqrt{2}$
• $\sin \alpha =\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{ipotenuza}}$, $\cos \alpha =\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza}}$, cu $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Asemănare și teorema lui Thales
Dacă $MN\parallel AC$, cu $M\in (AB)$ și $N\in (BC)$, triunghiurile $BMN$ și $BAC$ sunt asemenea, deci $\frac{AB}{BM}=\frac{BC}{BN}=\frac{AC}{MN}$. Raportul se ia între laturi întregi: dacă $BM=2$ cm și $AM=4$ cm, atunci $AB=6$ cm și raportul este $3$, nu $2$.

Patrulatere

Cercul

• lungimea cercului este $L=2\pi R$, aria discului $\mathcal{A}=\pi R^2$, iar aria semidiscului $\frac{\pi R^2}{2}$
• raza este jumătate din diametru: dacă diametrul este ipotenuza $2\sqrt{2}$, raza este $\sqrt{2}$
• unghiul înscris are jumătate din măsura arcului pe care se sprijină, iar unghiul la centru are măsura arcului

Corpuri

• paralelipiped dreptunghic: $\mathcal{V}=abc$, iar $1$ m${}^3$ înseamnă $1000$ de litri
• piramidă regulată: înălțimea cade în centrul bazei, iar muchia laterală, apotema și înălțimea formează triunghiuri dreptunghice
• la piramida patrulateră regulată cu muchia bazei $a$, diagonala bazei este $a\sqrt{2}$, jumătatea ei este $\frac{a\sqrt{2}}{2}$, iar înălțimea iese din Pitagora cu muchia laterală
• volumul piramidei este $\mathcal{V}=\frac{1}{3}{\mathcal{A}}_{\text{bazei}}\cdot H$

Cazurile particulare de triunghi dreptunghic

• cu unghiuri de $30^{\circ }$ și $60^{\circ }$: cateta mică este jumătate din ipotenuză, iar cea mare este $\frac{i\sqrt{3}}{2}$
• dreptunghic isoscel: ipotenuza este cateta înmulțită cu $\sqrt{2}$
• triplete pitagorice care scurtează calculul: $(3;4;5)$, $(6;8;10)$, $(9;12;15)$ și $(5;12;13)$

Drumul cerut la corpuri
La piramida patrulateră regulată pașii sunt mereu aceiași: diagonala pătratului din bază, $a\sqrt{2}$; jumătatea ei; apoi înălțimea, din teorema lui Pitagora cu muchia laterală. La paralelipiped se cere volumul $\mathcal{V}=abc$, iar capacitatea se transformă în litri, fiindcă $1$ m${}^3$ înseamnă $1000$ de litri.

Unde se pierd punctele

• muchia laterală folosită drept înălțime a piramidei
• raza confundată cu diametrul la disc și la semidisc
• raportul de asemănare luat între segmente greșite: $\frac{AB}{BM}$ cere întâi $AB=BM+AM$
• unghiurile alăturate ale paralelogramului tratate ca egale, deși sunt suplementare