Ce se cere la profilul umanist
Pagina urmează programa lucrării pentru profilul umanist: ecuația de gradul II (clasificare, rezolvare, relațiile lui Viète), inecuația de gradul II cu o necunoscută și sistemul format dintr-o ecuație de gradul I și una de gradul II. Aici lucrezi în R: soluțiile complexe ale ecuațiilor cu Δ<0 aparțin altei teme, numerele complexe. Teoremele nu se demonstrează aici; contează să știi regulile și să le aplici, fiindcă baremul plătește fiecare etapă scrisă: discriminantul, condiția, sistemul de condiții, răspunsul.
Forma ecuației și clasificarea
Ecuația ax2+bx+c=0, cu a=0, este de gradul II; a este primul coeficient, b al doilea, c termenul liber. Când b sau c este zero, forma este incompletă:
- ax2+bx=0: scoți factorul comun x, ca în 3x2−x=0⇔x(3x−1)=0, de unde sau Nu împărți la altfel pierzi soluția
Împărțind la a se ajunge la forma redusă x2+px+q=0.
Discriminantul și soluțiile
Numărul soluțiilor reale îl hotărăște Δ=b2−4ac:
| Δ | soluții reale |
|---|
| Δ<0 | niciuna, S=∅ |
| Δ=0 | una singură, x=−2ab |
Soluțiile sunt abscisele punctelor în care parabola y=ax2+bx+c taie axa Ox.
Relațiile lui Viète
Dacă x1, x2 sunt soluțiile ecuației ax2+bx+c=0, atunci și (la forma redusă: și Reciproc, două numere cu această sumă și acest produs sunt soluțiile ecuației. Ce poți afla fără să rezolvi ecuația:
- expresii simetrice: x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2;
Ecuații cu parametru
Traduci enunțul în condiții pe Δ, pe sumă și pe produs:
- două soluții reale distincte: Δ>0; o singură soluție: Δ=0; nicio soluție reală: Δ<0;
- două soluții distincte pozitive: Δ>0, (pentru negative, suma este
Când parametrul apare în coeficientul lui x2, verifici separat valoarea care îl anulează: ecuația devine de gradul I. Condiția Δ>0 cere de obicei o inecuație de gradul II în parametru, rezolvată la fel ca mai jos.
Inecuația de gradul II
Rezolvi ecuația asociată, apoi citești semnul din parabolă. Pentru a>0 ramurile sunt în sus: ax2+bx+c>0 în afara rădăcinilor și <0 între ele.
| inecuația ax2+bx+c>0 | Δ>0 | Δ=0 |
|---|
Pentru ≥ sau ≤ se adaugă soluțiile ecuației (capetele intră, paranteze pătrate). Același rezultat dă metoda intervalelor: descompui trinomul în factori, de pildă x2−7x+12≤0 devine (x−3)(x−4)≤0, cu soluția O problemă cu text poate duce la o inecuație de gradul II, de exemplu durata în care o minge aruncată în sus se află peste o înălțime dată.
Sistem cu o ecuație de gradul I și una de gradul II
Soluția unui sistem de două ecuații cu două necunoscute este o pereche ordonată (x;y) care verifică ambele ecuații. Metoda substituției: exprimi o necunoscută din ecuația de gradul I, o pui în cealaltă și obții o ecuație de gradul II într-o singură necunoscută. Fiecare soluție a ei dă o pereche, cu a doua coordonată calculată din ecuația de gradul I. Geometric, soluțiile sunt punctele comune ale dreptei și ale curbei; dacă ecuația obținută nu are soluții reale, sistemul nu are soluții.
Verificarea răspunsului
Soluțiile se caută în mulțimea numerelor cerută de enunț. La o problemă cu text, fiecare soluție se verifică în enunț: o lungime negativă, de pildă, nu convine și se elimină.
