Что требуется в гуманитарном профиле
Страница следует программе работы для гуманитарного профиля: уравнение II степени (классификация, решение, соотношения Виета), неравенство II степени с одним неизвестным и система из уравнения I степени и уравнения II степени. Работа идёт во множестве R: комплексные решения уравнений с Δ<0 относятся к другой теме, комплексным числам. Теоремы здесь не доказываются; важно знать правила и применять их, потому что схема проверки оценивает каждый записанный этап: дискриминант, условие, систему условий, ответ.
Вид уравнения и классификация
Уравнение ax2+bx+c=0 при a=0 — уравнение II степени; a — первый коэффициент, b — второй, c — свободный член. Если b или c равно нулю, уравнение неполное:
- ax2+bx=0: за скобку выносят общий множитель x, как в 3x2−x=0⇔x(3x−1)=0, откуда или Делить на нельзя: решение потеряется.
Деление на a приводит к приведённому виду x2+px+q=0.
Дискриминант и решения
Количество действительных решений определяет Δ=b2−4ac:
| Δ | действительные решения |
|---|
| Δ<0 | нет, S=∅ |
| Δ=0 | одно, x=−2ab |
Решения — абсциссы точек, в которых парабола y=ax2+bx+c пересекает ось Ox.
Соотношения Виета
Если x1, x2 — решения уравнения ax2+bx+c=0, то и (для приведённого уравнения: и Обратно, два числа с такой суммой и таким произведением — решения уравнения. Что можно найти, не решая уравнение:
- симметричные выражения: x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2;
Уравнения с параметром
Условие задачи переводится в условия на Δ, на сумму и на произведение:
- два различных действительных решения: Δ>0; одно решение: Δ=0; нет действительных решений: Δ<0;
- два различных положительных решения: Δ>0, (для отрицательных сумма
Когда параметр стоит в коэффициенте при x2, отдельно разбирают значение, обращающее его в нуль: уравнение становится уравнением I степени. Условие Δ>0 обычно даёт неравенство II степени относительно параметра, и решается оно так же, как ниже.
Неравенство II степени
Решают соответствующее уравнение, затем читают знак по параболе. При a>0 ветви направлены вверх: ax2+bx+c>0 вне корней и <0 между ними.
| неравенство ax2+bx+c>0 | Δ>0 | Δ=0 |
|---|
Для ≥ и ≤ добавляют решения уравнения (концы входят, квадратные скобки). Тот же результат даёт метод интервалов: трёхчлен раскладывают на множители, например x2−7x+12≤0 превращается в (x−3)(x−4)≤0 с решением Текстовая задача может свестись к неравенству II степени, например время, в течение которого брошенный вверх мяч находится выше заданной высоты.
Система из уравнения I степени и уравнения II степени
Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными — упорядоченная пара (x;y), удовлетворяющая обоим уравнениям. Метод подстановки: из уравнения I степени выражают одно неизвестное, подставляют в другое и получают уравнение II степени с одним неизвестным. Каждое его решение даёт пару, а вторая координата считается из уравнения I степени. Геометрически решения — общие точки прямой и кривой; если полученное уравнение не имеет действительных решений, у системы решений нет.
Проверка ответа
Решения ищут на множестве, которое требует условие. В текстовой задаче каждое решение проверяют по условию: например, отрицательная длина не подходит и отбрасывается.
