Mathematics, BAC · Profil real · Analiză matematică

Primitiva și integrala nedefinită: tabel, substituție, părți

Primitiva și integrala nedefinită, tema XII.1 a programei de BAC la matematică, profilul real: definiția, tabelul, schimbarea de variabilă, părțile. Pagina dă regulile, un exemplu de nivel BAC și greșelile care costă puncte.

This topic is in Romanian.

What the program asks for
What you need to know
Videos
Flashcards
Topic quiz
At the exam

What you need to know

Ce cere programa
Tema XII.1 face parte din programa de BAC pentru profilul real. Programa are patru puncte: noțiunea de primitivă, integrala nedefinită cu proprietățile ei, tabelul primitivelor uzuale și metodele de integrare (schimbarea de variabilă și integrarea prin părți). Printre rezultatele cerute sunt două pe care le exersezi aici: să calculezi o integrală nedefinită și să găsești primitiva care îndeplinește condiții date.

Primitiva
$F$ este primitivă a lui $f$ pe intervalul $I$ când $F$ este derivabilă pe $I$ și $F'(x)=f(x)$ pentru orice $x\in I$ . O primitivă se verifică prin derivare: $(x^3)'=3x^2$ , deci $x^3$ este primitivă a lui $3x^2$ .

Intervalul contează. Pentru $f(x)=-\dfrac1{x^2}$ , funcția $F(x)=\dfrac1x$ este primitivă pe și pe fiecare interval luat separat; pe tot nu este, deoarece în egalitatea nu se verifică.

Primitiva nu e unică. Dacă $F$ este o primitivă a lui $f$ pe un interval, orice altă primitivă pe acel interval este $F+C$ , cu $C$ constantă. Graficele a două primitive diferă printr-o translație pe verticală, de-a lungul axei $Oy$ . Orice funcție continuă pe are primitive pe

Integrala nedefinită
Integrala nedefinită a lui $f$ este mulțimea tuturor primitivelor ei:
$\int f(x)\,dx=F(x)+C$
În această scriere $f$ se numește integrand, $x$ — variabila de integrare, — constanta de integrare, iar operația prin care afli primitivele se numește integrare. Derivata integralei este chiar integrandul, așa că orice rezultat se verifică derivându-l.

Proprietăți

constanta iese în fața integralei: $\int k\,f(x)\,dx=k\int f(x)\,dx$ , cu $k\ne0$ ;

Tabelul primitivelor uzuale

$f(x)$	$\int f(x)\,dx$
$0$	$C$
$1$

Tabelul manualului (p. 8) are 19 rânduri; aici lipsește doar rândul 3, $\int x^n\,dx$ cu $n$ natural nenul, caz particular al rândului cu $x^\alpha$ . Majoritatea formulelor rezultă direct din faptul că integrarea inversează derivarea, iar celelalte se verifică derivând membrul drept.

Schimbarea de variabilă
Dacă $\varphi$ este derivabilă pe un interval deschis $I$ , cu valori într-un interval deschis $J$ , iar $F$ este o primitivă a lui $f$ pe $J$ , atunci În calcul notezi și scrii (manualul scrie, de exemplu, deci integrezi în după tabel și revii la Dacă substituția dă doar un multiplu al lui constanta trece în fața integralei: din rezultă Un exemplu: în cu factorul devine

Integrarea prin părți
$\int u\,dv=uv-\int v\,du$ , adică $\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)\,dx$ , cu și derivabile și cu derivate continue. Totul stă în alegerea lui manualul împarte majoritatea integralelor calculate prin părți în trei grupuri:

cu factorul $\ln x$ , $\arcsin x$ , $\arccos x$ , $\operatorname{arctg}x$ sau $\operatorname{arcctg}x$ : este acea funcție;

Primitiva cu o condiție
Programa cere și găsirea primitivei care îndeplinește condiții date. Scrii primitiva generală $F(x)+C$ , pui condiția ( $F(x_0)=y_0$ , de pildă sau graficul trece prin punctul pentru un zerou al lui și afli dintr-o ecuație de gradul I. La sfârșit derivezi rezultatul și verifici că obții integrandul.

Primitiva și integrala nedefinită: tabel, substituție, părți

What the program asks for

What you need to know

Videos

The rest of this topic is in the subscription

Sources

Who stands behind this page