Математика, BAC · Реальный профиль · Математический анализ

Первообразная и неопределённый интеграл: таблица, замена, по частям

Первообразная и неопределённый интеграл: тема XII.1 программы BAC по математике, реальный профиль. Здесь определение, таблица, замена переменной, интегрирование по частям, пример уровня BAC и ошибки, которые стоят баллов.

Что требует программа
Что нужно знать
Видео
Карточки
Тест по теме
На экзамене
Источники
Ещё 3 раздела — в подписке

Что нужно знать

Что требует программа
Тема XII.1 входит в программу бакалавриата для реального профиля. В программе четыре пункта: понятие первообразной, неопределённый интеграл и его свойства, таблица интегралов изученных элементарных функций и методы интегрирования (замена переменной и интегрирование по частям). Среди требуемых результатов два отрабатываются здесь: вычислить неопределённый интеграл и найти первообразную, которая удовлетворяет заданным условиям.

Первообразная
Функция $F$ — первообразная функции $f$ на интервале $I$ , если $F$ дифференцируема на $I$ и $F'(x)=f(x)$ для всех $x\in I$ . Первообразную проверяют дифференцированием: $(x^3)'=3x^2$ , значит, $x^3$ — первообразная для $3x^2$ .

Интервал важен. Для $f(x)=-\dfrac1{x^2}$ функция $F(x)=\dfrac1x$ является первообразной на каждом из интервалов и в отдельности; на всей прямой — нет: в нуле равенство не выполняется.

Первообразная определяется неоднозначно. Если $F$ — первообразная $f$ на некотором интервале, то любая другая первообразная на нём имеет вид $F+C$ , где $C$ — постоянная. Графики двух первообразных получаются один из другого параллельным переносом вдоль оси $Oy$ . Любая непрерывная на функция имеет на первообразные.

Неопределённый интеграл
Неопределённый интеграл функции $f$ — это совокупность всех её первообразных:
$\int f(x)\,dx=F(x)+C$
В этой записи $f$ называют подынтегральной функцией, $x$ — переменной интегрирования, — постоянной интегрирования, а действие, которым находят первообразные, — интегрированием. Производная интеграла равна подынтегральной функции, поэтому любой результат проверяется дифференцированием.

Свойства

постоянный множитель выносится за знак интеграла: $\int k\,f(x)\,dx=k\int f(x)\,dx$ , где $k\ne0$ ;

Таблица первообразных

$f(x)$	$\int f(x)\,dx$
$0$	$C$
$1$

В учебнике (с. 8) таблица состоит из 19 строк; здесь нет только строки 3, $\int x^n\,dx$ при натуральном $n$ , — это частный случай строки со степенью $x^\alpha$ . Большая часть формул следует непосредственно из того, что интегрирование обращает дифференцирование, а остальные проверяются дифференцированием правой части.

Замена переменной
Если $\varphi$ дифференцируема на открытом интервале $I$ и принимает значения в открытом интервале $J$ , а $F$ — первообразная $f$ на $J$ , то На практике вводят и записывают (в учебнике, например, тогда интегрируют по с помощью таблицы и возвращаются к Если подстановка даёт лишь кратное постоянный множитель выносят перед интегралом: из следует Пример: в при множитель превращается в

Интегрирование по частям
$\int u\,dv=uv-\int v\,du$ , то есть $\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)\,dx$ , где и дифференцируемы и имеют непрерывные производные. Всё решает выбор в учебнике большую часть интегралов, берущихся по частям, делят на три группы:

с множителем $\ln x$ , $\arcsin x$ , $\arccos x$ или $\operatorname{arctg}x$ : $u$ — эта функция;
$\int P_n(x)\cos cx\,dx$ , где — многочлен степени метод применяют раз, и на каждом шаге степень падает на единицу;

Первообразная с условием
Программа требует и находить первообразную по заданным условиям. Запиши общий вид $F(x)+C$ , подставь условие ( $F(x_0)=y_0$ , например или график проходит через точку для нуля функции берут и найди из уравнения первой степени. В конце продифференцируй результат: должна получиться подынтегральная функция.

Видео

Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.

Канал: Clasa Viitorului · YouTube

О чём: Урок подготовки к BAC для школ с русским языком обучения. Фрагмент с 37-й по 48-ю минуту: определение первообразной, общий вид F(x)+C, правило для f(kx+b) и задачи на первообразную с условием (нуль функции, точка на графике). Раньше в уроке другие темы, после 48-й минуты начинается определённый интеграл. Запись 2020 года, до обновления программы в 2021 году, поэтому тему стоит сверить с программой выше. Содержание подтверждено по автоматической расшифровке звука, не просмотром.

Канал: MEKTEП OnLine MATEMATИKA · YouTube

О чём: Метод замены переменной в неопределённом интеграле: новая переменная, дифференциал, обратная подстановка, на примере интеграла от (2x+3)^3. Короткий вводный урок казахстанской школы для 11 класса, на русском языке: разобран один пример, остальные отложены на следующие уроки. Название совпадает с названием следующего ролика, но тот о другом методе (по частям). В описании канала — реклама платных материалов. Содержание подтверждено по автоматической расшифровке звука, не просмотром.

Канал: MEKTEП OnLine MATEMATИKA · YouTube

О чём: Интегрирование по частям в неопределённом интеграле: формула ∫u dv = uv − ∫v du, выбор u и dv, первый пример x·sin x. Тоже короткий вводный урок казахстанской школы с одним примером; название совпадает с названием ролика о замене переменной, но метод другой. В описании канала — реклама платных материалов. Содержание подтверждено по автоматической расшифровке звука, не просмотром.

Первообразная и неопределённый интеграл: таблица, замена, по частям

Что требует программа

Что нужно знать

Видео

Остальное по теме — в подписке

Источники

Кто отвечает за страницу