Mathematics, BAC · Profil real · Analiză matematică · Șiruri de numere reale

Șiruri de numere reale: monotonie, mărginire, limită, convergență

Șirurile de numere reale pentru BAC, profilul real: definirea, monotonia, mărginirea, limita și convergența. Aici ai definițiile din manual, teorema lui Weierstrass și metodele de calcul al limitelor.

This topic is in Romanian.

What the program asks for
What you need to know
Videos
Flashcards
Topic quiz
At the exam

What you need to know

Ce cere programa
Aceasta este tema XI.1 din programa profilului real. Trebuie să recunoști șirurile și să le clasifici după criteriile finit sau infinit, monoton, mărginit, convergent sau divergent. Trebuie să afli termenii unui șir dat prin formulă sau prin recurență și să stabilești monotonia, mărginirea și convergența lui. Progresiile aritmetică și geometrică au pagina lor în acest curs.

Șirul de numere reale
Un șir este o funcție definită pe $\mathbb{N}^*$ (sau pe o submulțime finită de numere consecutive), cu valori reale. Valoarea ei în $n$ se notează $x_n$ și se numește termenul de rang $n$ , sau termenul general; șirul întreg se scrie $(x_n)_{n\ge1}$ și poate începe și de la rangul $0$ . Dacă mulțimea rangurilor este finită, șirul este finit; altfel este infinit.

Un șir se dă în trei feluri:

prin formula termenului general: înlocuiești $n$ și obții orice termen direct;
prin descrierea termenilor, de exemplu șirul numerelor prime;
prin recurență: dai primul termen (sau primii) și regula care scoate fiecare termen din cei dinainte, așa că îi calculezi pe rând.

Monotonia
Șirul este crescător dacă $x_n\le x_{n+1}$ pentru orice $n$ , și descrescător dacă $x_n\ge x_{n+1}$ . Cu semnele și el devine strict crescător, respectiv strict descrescător. Șirurile crescătoare sau descrescătoare se numesc monotone; există și șiruri care nu sunt monotone. Două criterii:

diferența: studiezi semnul lui $x_{n+1}-x_n$ pentru orice $n$ ( $\ge0$ înseamnă crescător, descrescător);

Mărginirea
Șirul este mărginit superior dacă toți termenii lui sunt cel mult egali cu un același număr $a$ ( $x_n\le a$ pentru orice $n$ ), și mărginit inferior dacă toți sunt cel puțin egali cu un număr $b$ ( $x_n\ge b$ ). Este mărginit când are ambele margini, adică toți termenii stau în intervalul Este nemărginit când, oricât de mare ar fi există un termen cu

Limita unui șir
O vecinătate a punctului $a$ este un interval $(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$ cu $\varepsilon>0$ . Numărul $a$ este limita șirului dacă în afara oricărei vecinătăți a lui rămâne doar un număr finit de termeni. În limbajul pentru orice există un rang astfel încât pentru orice Scrii sau

Există și limite infinite: $+\infty$ (de la un rang încolo $x_n>\varepsilon$ , oricare ar fi $\varepsilon>0$ ), $-\infty$ (cu și (cu Șirul cu limită finită este convergent, iar cel fără limită sau cu limită infinită este divergent. Un șir are cel mult o limită.

Teoremele de folosit

Weierstrass: orice șir monoton și mărginit este convergent. Pentru un șir crescător limita este supremumul termenilor, pentru unul descrescător infimumul lor. Pentru teoremă nu ajunge mărginirea singură: trebuie și monotonia. Dacă un șir monoton și mărginit este dat prin recurență, treci la limită în relație ( $x_n$ și $x_{n+1}$ tind amândouă la aceeași limită $L$ , fiindcă un subșir al unui șir convergent are limita lui), rezolvi ecuația în $L$ și păstrezi rădăcina care respectă marginile.

Limite de reținut

$\lim\dfrac{1}{n^{\alpha}}=0$ pentru $\alpha>0$ .
$\lim q^n=0$ pentru iar pentru avem

Șiruri de numere reale: monotonie, mărginire, limită, convergență

What the program asks for

What you need to know

Videos

The rest of this topic is in the subscription

Sources

Who stands behind this page