Математика, BAC · Реальный профиль · Математический анализ · Последовательности действительных чисел

Последовательности: монотонность, ограниченность, предел, сходимость

Последовательности действительных чисел на бакалавриате, реальный профиль: задание, монотонность, ограниченность, предел и сходимость. Здесь определения из учебника, теорема Вейерштрасса и приёмы вычисления пределов.

Что требует программа
Что нужно знать
Видео
Карточки
Тест по теме
На экзамене

Что нужно знать

Что требует программа
Это тема XI.1 программы реального профиля. Нужно распознавать последовательности и классифицировать их по признакам: конечная или бесконечная, монотонная, ограниченная, сходящаяся или расходящаяся. Нужно находить члены последовательности, заданной формулой или рекуррентно, и определять её монотонность, ограниченность и сходимость. Арифметическая и геометрическая прогрессии вынесены на отдельную страницу курса.

Числовая последовательность
Последовательность — это функция, заданная на $\mathbb{N}^*$ (или на конечном множестве подряд идущих натуральных чисел) и принимающая действительные значения. Её значение при $n$ обозначают $x_n$ и называют $n$ -м членом, или общим членом; всю последовательность записывают $(x_n)_{n\ge1}$ , она может начинаться и с номера $0$ . Если множество номеров конечно, последовательность конечная, иначе бесконечная.

Последовательность задают тремя способами:

формулой общего члена: подставляешь номер $n$ и сразу получаешь любой член;
перечислением членов, например последовательность простых чисел;
рекуррентно: задают первый член (или первые) и правило, которое выдаёт каждый член через предыдущие, так что члены считают один за другим.

Монотонность
Последовательность возрастающая, если $x_n\le x_{n+1}$ при всех $n$ , и убывающая, если $x_n\ge x_{n+1}$ . Со знаками и она становится строго возрастающей, соответственно строго убывающей. Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными; бывают и немонотонные последовательности. Два критерия:

разность: исследуешь знак $x_{n+1}-x_n$ при всех $n$ ( $\ge0$ — возрастающая, — убывающая);

Ограниченность
Последовательность ограничена сверху, если все её члены не больше некоторого числа $a$ ( $x_n\le a$ при всех $n$ ), и ограничена снизу, если все они не меньше некоторого числа $b$ ( $x_n\ge b$ ). Ограничена та, что ограничена и сверху, и снизу: все члены лежат в промежутке Неограничена та, для которой при любом найдётся член с

Предел последовательности
Окрестность точки $a$ — интервал $(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$ при $\varepsilon>0$ . Число $a$ — предел последовательности, если вне любой окрестности точки остаётся лишь конечное число членов. На языке для любого есть номер такой что при всех Записывают или

Бывают и бесконечные пределы: $+\infty$ (с некоторого номера $x_n>\varepsilon$ при любом $\varepsilon>0$ ), $-\infty$ (с условием и (с условием Последовательность с конечным пределом сходящаяся, а без предела или с бесконечным пределом расходящаяся. Предел у последовательности не более одного.

Теоремы, которыми пользуются

Вейерштрасс: любая монотонная и ограниченная последовательность сходится. У возрастающей предел равен точной верхней грани членов, у убывающей — точной нижней. Одной ограниченности для теоремы мало: нужна ещё монотонность. Если монотонная и ограниченная последовательность задана рекуррентно, переходят к пределу в соотношении ( $x_n$ и $x_{n+1}$ стремятся к одному и тому же $L$ , ведь у подпоследовательности сходящейся последовательности тот же предел), решают уравнение относительно $L$ и оставляют корень, который укладывается в границы.

Пределы, которые стоит помнить

$\lim\dfrac{1}{n^{\alpha}}=0$ при $\alpha>0$ .
$\lim q^n=0$ при а при имеем

Последовательности: монотонность, ограниченность, предел, сходимость

Что требует программа

Что нужно знать

Видео

Остальное по теме — в подписке

Источники

Кто отвечает за страницу