Mathematics, Grade 9 · Geometrie

Poliedre: prisma, paralelipipedul, cubul, piramida regulată

Poliedrele din programa de gimnaziu: prisma dreaptă și paralelipipedul, cubul, piramida regulată și tetraedrul. Aici ai definițiile, formulele de arie și volum cu înțelesul literelor și greșelile care costă puncte.

This topic is in Romanian.

What the program asks for
What you need to know
Drawings and diagrams
Videos
Flashcards
Topic quiz
At the exam

What you need to know

Ce cere programa
La tema „Poliedre” programa examenului de gimnaziu cere: prisma și elementele ei, clasificarea prismelor, aria suprafețelor și volumul prismei drepte, piramida și elementele ei, clasificarea piramidelor, aria suprafețelor și volumul piramidei regulate, triunghiulare și patrulatere. Curriculumul clasei a IX-a mai pune aici prisma oblică, piramida hexagonală și trunchiul de piramidă; pe lista programei de examen ele nu sunt.

Poliedrul
Poliedrul este un corp mărginit numai de suprafețe poligonale. Poligoanele sunt fețele, laturile lor sunt muchiile, iar vârfurile muchiilor sunt vârfurile poliedrului. Diagonala poliedrului unește două vârfuri care nu se află pe aceeași față; manualul clasei a IX-a o spune mai scurt, „vârfuri a două fețe diferite”, dar se înțelege așa.

Prisma și felurile ei
Prisma are două fețe congruente și paralele, bazele. Celelalte fețe sunt fețele laterale: ele sunt paralelograme, iar muchiile laterale sunt paralele și congruente. Înălțimea prismei este segmentul perpendicular pe planele bazelor, cu capetele în aceste plane. Clasificarea are două ramuri, prismele drepte și paralelipipedele:

prisma dreaptă are muchiile laterale perpendiculare pe baze; fețele ei laterale sunt dreptunghiuri, iar muchia laterală este chiar înălțimea;
prisma regulată este o prismă dreaptă cu baza poligon regulat;
paralelipipedul este o prismă cu baza paralelogram; dacă muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze, este paralelipiped drept;
paralelipipedul dreptunghic (cuboidul) este paralelipipedul drept cu baza dreptunghi;
cubul este paralelipipedul dreptunghic cu toate muchiile congruente.

Formulele prismei

Mărimea	Formula	Ce înseamnă literele
aria laterală a prismei drepte	$A_l=P\cdot h$	$P$ este perimetrul bazei, $h$ înălțimea
aria totală	$A_t=A_l+2A_b$	$A_b$ este aria unei baze
volumul prismei	$V=A_b\cdot h$	$h$ este înălțimea
paralelipiped dreptunghic	$d^2=a^2+b^2+c^2$ , $A_t=2(ab+bc+ac)$ ,
cub cu muchia $a$	$A_t=6a^2$ , $V=a^3$ ,

Piramida și felurile ei
Piramida are o bază poligonală și un vârf aflat în afara planului bazei. Fețele laterale sunt triunghiuri, muchiile laterale unesc vârful cu vârfurile bazei, iar înălțimea este segmentul dus din vârf perpendicular pe planul bazei. După baza ei, piramida este triunghiulară (tetraedru), patrulateră și așa mai departe.

piramida regulată are ca bază un poligon regulat, iar piciorul înălțimii este centrul bazei; fețele ei laterale sunt triunghiuri isoscele congruente;
apotema piramidei regulate este înălțimea unei fețe laterale, dusă din vârf;
tetraedrul regulat este tetraedrul cu toate muchiile congruente, deci cu patru fețe echilaterale congruente. Atenție: nu orice piramidă triunghiulară regulată este tetraedru regulat.

Formulele piramidei regulate

Mărimea	Formula	Ce înseamnă literele
aria laterală	$A_l=\dfrac12P\cdot l$	$P$ este perimetrul bazei, apotema piramidei

În manualul clasei a XII-a apotema se notează $h$ , iar aria laterală se scrie $p\cdot h$ , unde $p=\dfrac P2$ este semiperimetrul bazei; este aceeași formulă, cu alte litere.

La baza unei prisme sau piramide apar des pătratul, cu aria $a^2$ , și triunghiul echilateral, cu aria $\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$ .

Elementele piramidei într-un triunghi dreptunghic
Înălțimea sau apotema nu sunt date mereu; le afli cu teorema lui Pitagora. În piramida patrulateră regulată:

muchia laterală, apotema și jumătatea laturii bazei formează un triunghi dreptunghic, cu unghiul drept la piciorul apotemei;
înălțimea, jumătatea diagonalei bazei și muchia laterală formează un triunghi dreptunghic, cu unghiul drept la piciorul înălțimii; diagonala pătratului cu latura $a$ este $a\sqrt2$ .

Unitățile de măsură
Volumul se măsoară în unități cubice, iar capacitatea în litri: $1$ l $=1$ dm³, deci $1$ m³ $=1000$ l. Adu toate lungimile la aceeași unitate înainte de calcul.

Cum lucrezi

1)Desenează corpul și notează ce se dă.
2)Alege formula după ce cere problema: aria laterală, aria totală sau volumul.
3)Dacă lipsește înălțimea sau apotema, caută-o într-un triunghi dreptunghic.
4)Scrie răspunsul cu unitatea pătrată sau cubică.

Poliedre: prisma, paralelipipedul, cubul, piramida regulată

What the program asks for

What you need to know

Drawings and diagrams

Videos

The rest of this topic is in the subscription

Sources

Who stands behind this page