Математика, 9 класс · Геометрия

Многогранники: призма, параллелепипед, куб, правильная пирамида

Многогранники из программы за гимназию: прямая призма и параллелепипед, куб, правильная пирамида и тетраэдр. Здесь определения, формулы площади и объёма с пояснением букв и ошибки, которые стоят баллов.

Что требует программа
Что нужно знать
Чертежи и схемы
Видео
Карточки
Тест по теме
На экзамене
Источники
Ещё 3 раздела — в подписке

Что нужно знать

Что требует программа
По теме «Многогранники» программа экзамена за гимназию требует: призма и её элементы, классификация призм, площади поверхностей и объём прямой призмы, пирамида и её элементы, классификация пирамид, площади поверхностей и объём правильной пирамиды, треугольной и четырёхугольной. Куррикулум IX класса добавляет сюда наклонную призму, шестиугольную пирамиду и усечённую пирамиду; в списке программы экзамена их нет.

Многогранник
Многогранник – это тело, ограниченное многоугольными поверхностями. Многоугольники – его грани, их стороны – рёбра, а вершины рёбер – вершины многогранника. Диагональ многогранника соединяет две вершины, которые не лежат на одной грани.

Призма и её виды
У призмы две конгруэнтные параллельные грани – основания. Остальные грани – боковые: они параллелограммы, а боковые рёбра параллельны и конгруэнтны. Высота призмы – отрезок, перпендикулярный плоскостям оснований, с концами в этих плоскостях. Классификация идёт по двум ветвям: прямые призмы и параллелепипеды:

прямая призма: боковые рёбра перпендикулярны основаниям; её боковые грани – прямоугольники, а боковое ребро и есть высота;
правильная призма: прямая призма, в основании которой правильный многоугольник;
параллелепипед: призма, в основании которой параллелограмм; если боковые рёбра перпендикулярны основаниям, это прямой параллелепипед;
прямоугольный параллелепипед (кубоид): прямой параллелепипед с прямоугольником в основании;
куб: прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра конгруэнтны.

Формулы для призмы

Величина	Формула	Что означают буквы
площадь боковой поверхности прямой призмы	$A_{\text{б}}=P\cdot h$	$P$ – периметр основания, $h$ – высота
площадь полной поверхности	$A_{\text{п}}=A_{\text{б}}+2A_{\text{осн}}$	$A_{\text{осн}}$ – площадь одного основания
объём призмы	$V=A_{\text{осн}}\cdot h$	$h$ – высота
прямоугольный параллелепипед	$d^2=a^2+b^2+c^2$ , $A_{\text{п}}=2(ab+bc+ac)$ ,
куб с ребром $a$	$A_{\text{п}}=6a^2$ , $V=a^3$ ,

Пирамида и её виды
У пирамиды многоугольное основание и вершина вне плоскости основания. Боковые грани – треугольники, боковые рёбра соединяют вершину с вершинами основания, а высота – отрезок из вершины перпендикулярно плоскости основания. По основанию пирамида бывает треугольной (тетраэдр), четырёхугольной и так далее.

правильная пирамида: в основании правильный многоугольник, а основание высоты – центр основания; боковые грани – конгруэнтные равнобедренные треугольники;
апофема правильной пирамиды – высота боковой грани, проведённая из вершины;
правильный тетраэдр – тетраэдр, у которого все рёбра конгруэнтны, то есть все четыре его грани – конгруэнтные равносторонние треугольники. Внимание: не всякая правильная треугольная пирамида – правильный тетраэдр.

Формулы для правильной пирамиды

Величина	Формула	Что означают буквы
площадь боковой поверхности	$A_{\text{б}}=\dfrac12P\cdot l$	$P$ – периметр основания, – апофема пирамиды

В учебнике XII класса апофема обозначена $h$ , а площадь боковой поверхности записана как $p\cdot h$ , где $p=\dfrac P2$ – полупериметр основания; это та же формула, только с другими буквами.

В основании призмы или пирамиды часто встречаются квадрат, площадь которого $a^2$ , и равносторонний треугольник с площадью $\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$ .

Элементы пирамиды в прямоугольном треугольнике
Высоту или апофему не всегда дают в условии; их находят по теореме Пифагора. В правильной четырёхугольной пирамиде:

боковое ребро, апофема и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник с прямым углом в точке, куда падает апофема;
высота, половина диагонали основания и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник с прямым углом в точке, куда падает высота; диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt2$ .

Единицы измерения
Объём измеряют в кубических единицах, а ёмкость – в литрах: $1$ л $=1$ дм³, поэтому $1$ м³ $=1000$ л. Перед вычислением все длины приводят к одной единице.

Как решать

1)Сделать чертёж и отметить данные.
2)Выбрать формулу по вопросу: боковая поверхность, полная поверхность или объём.
3)Если не хватает высоты или апофемы, найти её в прямоугольном треугольнике.
4)Записать ответ с квадратной или кубической единицей.

Многогранники: призма, параллелепипед, куб, правильная пирамида

Что требует программа

Что нужно знать

Чертежи и схемы

Видео

Остальное по теме — в подписке

Источники

Кто отвечает за страницу