Algebră: puteri, logaritmi, polinoame, numere complexe

Puteri și radicali
Pentru $a>0$ și exponenți reali:

• $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$,

Trucul care rezolvă aproape orice calcul: scrie toate numerele ca puteri ale aceleiași baze, de exemplu $32^{0{,}6}=\left(2^5\right)^{0{,}6}=2^3=8$.

Logaritmi
$\log_a b=c \iff a^c=b$, unde $a>0$,

• $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ și pentru

Ecuații și inecuații exponențiale și logaritmice

1. 1)Scrie DVA: argumentele logaritmilor strict pozitive, expresia de sub un radical de ordin par cel puțin zero.
2. 2)Adu la aceeași bază: $a^{f(x)}=a^{g(x)} \iff f(x)=g(x)$, iar în DVA.

Ecuația de gradul II
Pentru $ax^2+bx+c=0$, $a\ne0$: $\Delta=b^2-4ac$ și

• $\Delta>0$: două soluții reale distincte; $\Delta=0$: o soluție (dublă); $\Delta<0$: nicio soluție reală
• relațiile lui Viète: $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$,

Polinoame

• Teorema restului: restul împărțirii lui $P(X)$ la $X-a$ este $P(a)$.
• Teorema lui Bézout: $X=a$ este rădăcină a lui $P(X)$ dacă și numai dacă adică divide

Numere complexe
$z=a+bi$, cu $i^2=-1$; conjugatul este $\overline{z}=a-bi$, modulul

• puterile lui $i$ se repetă din 4 în 4: $i^{4k}=1$, $i^{4k+1}=i$,

Sisteme și parametri
Rezolvă prin substituție. Dacă sistemul se reduce la o ecuație de gradul II, „două soluții distincte” înseamnă $\Delta>0$, iar „o singură soluție” înseamnă $\Delta=0$ sau, dacă coeficientul lui $x^2$ depinde de parametru, cazul în care el devine zero și ecuația devine de gradul I.