Алгебра: степени, логарифмы, многочлены, комплексные числа

Степени и корни
Для $a>0$ и действительных показателей:

• $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, ${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$, $(ab{)}^n=a^n{b}^n$
• $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, поэтому ${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n}={\left(\frac{b}{a}\right)}^n$ и ${\left(\frac{1}{16}\right)}^{-1}=16$
• $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$, а $\sqrt{a^2}=|a|$ при любом действительном $a$
• корень нечётной степени существует и из отрицательных чисел: $\sqrt[3]{-8}=-2$

Приём, который решает почти любое вычисление: приведи все числа к одному основанию, например $32^{0,6}={\left(2^5\right)}^{0,6}=2^3=8$.

Логарифмы
${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$, где $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$.

• ${\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$ и ${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$ при $x>0$, $y>0$
• ${\log }_a{x}^k=k{\log }_{a}x$ и ${\log }_{a^k}x=\frac{1}{k}{\log }_{a}x$, например ${\log }_{\sqrt{5}}2=2{\log }_{5}2$
• $a^{{\log }_{a}b}=b$, ${\log }_{a}a=1$, ${\log }_{a}1=0$, переход к новому основанию: ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

Показательные и логарифмические уравнения и неравенства

1. 1)Запиши ОДЗ: аргументы логарифмов строго положительны, подкоренное выражение чётной степени неотрицательно.
2. 2)Приведи к одному основанию: $a^{f(x)}=a^{g(x)}⟺f(x)=g(x)$, а ${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x)⟺f(x)=g(x)$ внутри ОДЗ.
3. 3)В неравенствах знак сохраняется при $a>1$ и меняется при $0<a<1$: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>{\left(\frac{1}{2}\right)}^3⟺x<3$.
4. 4)Если встречаются $a^{2x}$ и $a^x$, обозначь $t=a^x$ с условием $t>0$ и реши квадратное уравнение относительно $t$.
5. 5)В конце оставь только те решения, которые входят в ОДЗ.

Квадратное уравнение
Для $a{x}^2+bx+c=0$ при $a\ne 0$: $\Delta =b^2-4ac$ и $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$.

• $\Delta >0$ — два различных корня, $\Delta =0$ — один, $\Delta <0$ — действительных корней нет
• теорема Виета: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$, $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$
• при $a>0$ трёхчлен отрицателен между корнями и положителен вне их

Многочлены

• теорема об остатке: остаток от деления $P(X)$ на $X-a$ равен $P(a)$
• теорема Безу: $X=a$ — корень $P(X)$ тогда и только тогда, когда $P(a)=0$, то есть $X-a$ делит $P(X)$
• частное от деления на $X-a$ быстро находится схемой Горнера

Комплексные числа
$z=a+bi$, где $i^2=-1$; сопряжённое $\overline{z}=a-bi$, модуль $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.

• степени $i$ повторяются через четыре: $i^{4k}=1$, $i^{4k+1}=i$, $i^{4k+2}=-1$, $i^{4k+3}=-i$
• при делении умножай числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателя: $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$
• тригонометрическая форма: $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$, где $r=|z|$, $\cos \phi =\frac{a}{r}$, $\sin \phi =\frac{b}{r}$
• формула Муавра: $z^n=r^n(\cos n\phi +i\sin n\phi )$, а угол $n\phi$ уменьшают на кратные $2\pi$

Системы с параметром
Решай подстановкой. Если система сводится к квадратному уравнению, «два различных решения» означает $\Delta >0$, а «одно решение» — либо $\Delta =0$, либо случай, когда коэффициент при $x^2$ обращается в нуль и уравнение становится линейным.