Геометрия: метрические соотношения, площади и объёмы
The topic in the ANCE tests: Геометрия
zzz
На БАК геометрия даёт 21 балл из 100 на реальном профиле и 26 на гуманитарном, на плоскости и в пространстве. Здесь собраны метрические соотношения, теорема о трёх перпендикулярах и формулы площадей и объёмов.
равносторонний треугольник со стороной a: высота 2a3, площадь 4a23, радиус описанной окружности R=3a3
двойной угол: sin2α=2sinαcosα — именно это соотношение решает задания с m(∠A)=2m(∠B)
Проекции Проекция точки на прямую — основание перпендикуляра, опущенного из этой точки. Если A,M,B лежат на одной прямой, M — середина AB, а A1,M1,B1 — их проекции на прямую d, не пересекающую отрезок, то MM1=2AA1+BB1: это средняя линия трапеции AA1B1B.
Окружность
длина окружности L=2πR, площадь круга πR2
вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается, центральный угол равен самой дуге
вписанный угол в 30∘ опирается на дугу в 60∘, то есть на шестую часть окружности
хорда, стягивающая центральный угол в 60∘, равна радиусу, так как получается равносторонний треугольник
Четырёхугольники
параллелограмм: A=b⋅h, где h — высота, а не наклонная сторона
ромб: диагонали перпендикулярны, делятся пополам и являются биссектрисами; A=2d1d2
куб с ребром a: диагональ a3, полная поверхность 6a2
прямоугольный параллелепипед: V=abc, полная поверхность 2(ab+bc+ca), диагональ a2+b2+c2
правильная пирамида: высота падает в центр описанной около основания окружности, а V=31AbH
усечённый конус: V=3πh(R2+Rr+r2)
конус: V=3πR2H; сечение, параллельное основанию, даёт подобные треугольники, поэтому Rr=HH−h
Расстояния в пространстве Расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру к этой прямой. В прямой призме, если BK⊥AC в плоскости основания, то и B1K⊥AC, а B1K=BK2+BB12: это теорема о трёх перпендикулярах, шаг, который схема проверки требует явно.
Конфигурации, которые повторяются в тестах
прямоугольный равнобедренный треугольник с катетом c: гипотенуза равна c2, а острые углы по 45∘
равносторонний треугольник со стороной a: высота 2a3, площадь 4a23, радиус описанной окружности 3a3 и вписанной 6a3
ромб, в котором высота из вершины является и медианой: полученный треугольник равносторонний, поэтому сторона ромба равна меньшей диагонали
хорда, стягивающая центральный угол в 60∘, равна радиусу
прямоугольный параллелепипед с измерениями 1:2:3: записываешь x,2x,3x и используешь полную поверхность 2(ab+bc+ca)
конус, рассечённый плоскостью, параллельной основанию: радиусы и высоты связаны подобием, Rr=HH−h
Где теряются баллы Схема проверки оплачивает отдельно именно те шаги, которые пропускают: построение проекции точки на прямую, обоснование равенства двух отрезков, запись отношения подобия в осевом сечении конуса. Пиши их явно, даже если они кажутся очевидными: в заданиях на 8 баллов половина балла лежит в этих промежуточных шагах, а не в последнем вычислении.
The rest of the lesson is in the subscription
The real ANCE items where the topic appears, the step-by-step solved example, the typical mistakes and the 7 check questions open with the subscription. “What you must know” stays free.
Source of the tests: the National Agency for Curriculum and Assessment, ance.gov.md. Nota10 is not affiliated with MEC or ANCE. Automatic grading is an estimate, not an official grade.
