Ce cere programa
Pagina este pentru profilul umanist. Capitolul XI.5 al programei de BAC cere dreptele perpendiculare în spațiu, dreapta perpendiculară pe plan, distanța de la un punct la o dreaptă și la un plan, proiecțiile ortogonale, unghiul dintre dreaptă și plan, unghiul diedru și planele perpendiculare, cu aplicații în situații reale. Manualul de clasa a XI-a este făcut pentru ambele profiluri: textul marcat cu bară verticală în stânga este numai pentru profilul real (pentru umanist, arte și sport el poate fi propus ca extindere), iar problemele sunt împărțite pe profiluri. Teorema celor trei perpendiculare nu este numită în lista umanistă, dar cu ea afli distanța de la un punct la o dreaptă, de aceea o înveți mai jos ca unealtă.
Drepte perpendiculare în spațiu
Două drepte care nu stau în același plan formează totuși un unghi: prin orice punct al spațiului duci paralele la ele, iar unghiul acestor paralele este unghiul dreptelor. Dreptele sunt perpendiculare când unghiul are 90∘.
Dreapta perpendiculară pe plan
- Definiție: dreapta este perpendiculară pe plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă din plan.
- Criteriu: ajunge să fie perpendiculară pe două drepte concurente din plan.
- Prin orice punct trece o singură dreaptă perpendiculară pe un plan dat și, prin orice punct al unei drepte, un singur plan perpendicular pe ea.
- Două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele; un plan perpendicular pe una dintre două drepte paralele este perpendicular și pe cealaltă.
- Dreapta care intersectează planul fără să-i fie perpendiculară se numește oblică.
Proiecții ortogonale și distanțe
Proiecția unui punct M pe un plan este piciorul perpendicularei duse din M pe plan; proiecția unei figuri este mulțimea proiecțiilor punctelor ei. Proiecția unei drepte pe un plan este o dreaptă sau un punct, punct atunci când dreapta este perpendiculară pe plan.
Distanța de la un punct la un plan este lungimea perpendicularei duse din punct pe plan. Distanța de la M la o dreaptă a este lungimea segmentului MM1, unde M1 este proiecția lui pe Perpendiculara este mai scurtă decât orice oblică dusă din același punct.
Triunghiul dreptunghic al perpendicularei
Perpendiculara h, o oblică l și proiecția p a oblicei pe plan formează un triunghi dreptunghic, cu unghiul drept în piciorul perpendicularei. Teorema lui Pitagora leagă lungimile lui: l2=h2+p2.
Teorema celor trei perpendiculare
Fie a o oblică și a1 proiecția ei pe plan. Dacă o dreaptă b din plan este perpendiculară pe a1, ea este perpendiculară și pe a. Reciproc: dacă din plan este perpendiculară pe oblica ea este perpendiculară și pe proiecția
Așa afli distanța de la un punct M la o dreaptă b din plan: notezi M1 proiecția lui M pe plan, duci în plan M1D⊥b cu iar Distanța este
Unghiul dintre dreaptă și plan
Unghiul dintre o oblică și plan este unghiul ascuțit dintre oblică și proiecția ei pe plan; pentru un segment se ia dreapta lui suport. Pe desen, φ stă în piciorul oblicei, între l și p. Din triunghiul dreptunghic al perpendicularei, cu catetele h și p:
- sinφ=lh, deci h=lsinφ
- cosφ=lp, deci (manualul dă și această formulă ca teoremă)
Unghiul diedru și planele perpendiculare
Două semiplane cu aceeași dreaptă-frontieră formează, prin reuniunea lor, un unghi diedru. Dreapta este muchia, semiplanele sunt fețele. Pentru unghiul liniar iei un punct pe muchie și duci, în fiecare față, perpendiculara pe muchie. Unghiurile liniare ale aceluiași diedru sunt congruente între ele, iar măsura diedrului se ia egală cu a oricăruia dintre ele.
Fie punctul C într-o față, CD perpendiculara lui pe muchie și diedrul ascuțit, de măsură φ<90∘. Distanța de la C la planul celeilalte fețe se deduce în trei pași (nu este o teoremă din manual). Fie C1 proiecția lui pe acest plan. Din reciproca teoremei celor trei perpendiculare, este și ea perpendiculară pe muchie, deci este unghiul liniar al diedrului și are măsura În triunghiul dreptunghic (unghi drept în rezultă
Două plane sunt perpendiculare când diedrul lor are 90∘. Criteriu: planul α este perpendicular pe β exact atunci când în α se află o dreaptă perpendiculară pe β. Consecință: dacă planele sunt perpendiculare, perpendiculara dusă pe muchie într-unul dintre ele este perpendiculară pe celălalt plan.
Aplicații
Manualul pune la profilul umanist probleme din viața reală, de pildă o grindă pe doi piloni sau un cablu între un stâlp și acoperișul unei clădiri. Metoda este aceeași: desen, perpendiculară pe plan, triunghi dreptunghic.
Ordinea de lucru
- 1)Desenează figura și găsește perpendiculara pe plan: înălțimea, muchia laterală sau segmentul dat.
- 2)Marchează piciorul ei, adică proiecția punctului.
- 3)Scoate triunghiul dreptunghic al perpendicularei, al proiecției și al oblicei și scrie ce lungimi cunoști.
- 4)Pentru distanța la o dreaptă, duci din picior perpendiculara pe dreaptă și aplici teorema celor trei perpendiculare.
- 5)Păstrează fiecare lungime intermediară și lasă radicalii exacți; scrie unitatea, cm sau cm².
