Что требует программа
Страница для гуманитарного профиля. Раздел XI.5 программы BAC требует перпендикулярные прямые в пространстве, прямую, перпендикулярную плоскости, расстояние от точки до прямой и до плоскости, ортогональные проекции, угол между прямой и плоскостью, двугранный угол и перпендикулярные плоскости, с приложениями в реальных ситуациях. Учебник 11 класса рассчитан на оба профиля: материал с вертикальной чертой слева предусмотрен только для реального профиля (для гуманитарного, искусства и спорта его можно предложить как дополнительный), а задачи разделены по профилям. Теорема о трёх перпендикулярах в списке гуманитарного профиля не названа, но с ней находят расстояние от точки до прямой, поэтому она разобрана ниже как инструмент.
Перпендикулярные прямые в пространстве
Две прямые, не лежащие в одной плоскости, тоже образуют угол: через любую точку пространства проводят параллельные им прямые, и угол между этими параллельными есть угол между данными прямыми. Прямые перпендикулярны, когда этот угол равен 90∘.
Прямая, перпендикулярная плоскости
- Определение: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой этой плоскости.
- Признак: достаточно, чтобы она была перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости.
- Через любую точку проходит одна прямая, перпендикулярная данной плоскости, и через любую точку прямой проходит одна плоскость, перпендикулярная этой прямой.
- Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны; плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой.
- Прямая, которая пересекает плоскость, не будучи ей перпендикулярной, называется наклонной.
Ортогональные проекции и расстояния
Проекция точки M на плоскость — основание перпендикуляра, проведённого из M к плоскости; проекция фигуры — множество проекций всех её точек. Проекция прямой на плоскость — прямая или точка, и точка получается, когда прямая перпендикулярна плоскости.
Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, проведённого из точки к плоскости. Расстояние от M до прямой a — длина отрезка MM1, где M1 — проекция на Перпендикуляр короче любой наклонной, проведённой из той же точки.
Прямоугольный треугольник перпендикуляра
Перпендикуляр h, наклонная l и проекция p наклонной на плоскость образуют прямоугольный треугольник с прямым углом в основании перпендикуляра. По теореме Пифагора длины в нём связаны так: l2=h2+p2.
Теорема о трёх перпендикулярах
Пусть a — наклонная, a1 — её проекция на плоскость. Если прямая b плоскости перпендикулярна a1, то она перпендикулярна и a. Обратно: если прямая плоскости перпендикулярна наклонной то она перпендикулярна и проекции
Так находят расстояние от точки M до прямой b плоскости: M1 — проекция M на плоскость, в плоскости проводят M1D⊥b, где и тогда Расстояние равно
Угол между прямой и плоскостью
Угол между наклонной и плоскостью — острый угол между наклонной и её проекцией на плоскость; для отрезка берут его несущую прямую. На чертеже φ стоит в основании наклонной, между l и p. Из прямоугольного треугольника перпендикуляра с катетами h и p:
- sinφ=lh, значит h=lsinφ
- cosφ=lp, значит (учебник приводит и эту формулу как теорему)
Двугранный угол и перпендикулярные плоскости
Две полуплоскости с общей граничной прямой в объединении образуют двугранный угол. Эта прямая — ребро, полуплоскости — грани. Чтобы построить линейный угол, на ребре берут точку и в каждой грани проводят перпендикуляр к ребру. Линейные углы одного двугранного угла равны между собой, а величину двугранного угла берут равной величине любого из них.
Пусть точка C лежит в одной грани, CD — её перпендикуляр к ребру, а двугранный угол острый, φ<90∘. Расстояние от C до плоскости другой грани выводится в три шага (в учебнике такой теоремы нет). Пусть C1 — проекция на эту плоскость. По обратной теореме о трёх перпендикулярах тоже перпендикулярна ребру, поэтому — линейный угол двугранного угла, его величина равна В прямоугольном треугольнике (прямой угол при получаем
Две плоскости перпендикулярны, когда двугранный угол между ними равен 90∘. Признак: плоскость α перпендикулярна β тогда и только тогда, когда в α есть прямая, перпендикулярная β. Следствие: если плоскости перпендикулярны, то перпендикуляр к ребру, проведённый в одной из них, перпендикулярен другой плоскости.
Приложения
В учебнике для гуманитарного профиля есть задачи из жизни, например балка на двух столбах или кабель между столбом и крышей здания. Метод тот же: чертёж, перпендикуляр к плоскости, прямоугольный треугольник.
Порядок работы
- 1)Сделай чертёж и найди перпендикуляр к плоскости: высоту, боковое ребро или заданный отрезок.
- 2)Отметь его основание: это проекция точки.
- 3)Выдели прямоугольный треугольник из перпендикуляра, проекции и наклонной и запиши известные длины.
- 4)Для расстояния до прямой проведи из основания перпендикуляр к этой прямой и примени теорему о трёх перпендикулярах.
- 5)Сохраняй каждую промежуточную длину и оставляй корни точными; пиши единицу, см или см².
