Matematica, BAC · Profil real · Analiză matematică · Șiruri de numere reale

Progresia aritmetică și geometrică: formule, proprietăți, sume

Progresia aritmetică și cea geometrică pentru BAC, profilul real: definiții, termenul general, proprietățile termenilor vecini și sumele. Aici ai formulele din manual, aplicațiile lor și capcanele care costă puncte.

Ce cere programa
Ce trebuie să știi
Video
Cartonașe
Testul temei
La examen
Surse

Ce trebuie să știi

Ce cere programa
Programa BAC pentru profilul real (XI.1, șiruri de numere reale) cere la această temă progresia aritmetică și progresia geometrică, cu proprietățile și aplicațiile lor. Pagina este scrisă pentru candidații profilului real. Totul se reduce la câteva formule și la atenția cu care citești condițiile problemei.

Progresia aritmetică: definiția
Dacă într-un șir de numere reale diferența dintre orice termen și cel dinaintea lui este aceeași, $a_{k+1}-a_k=r$ , șirul este o progresie aritmetică. Constanta $r$ poartă numele de rație, iar primul număr din șir, $a_1$ , este primul termen. Cele două numere $a_1$ și $r$ sunt de ajuns ca să scrii toți termenii. Dacă $r>0$ , progresia este strict crescătoare, dacă $r<0$ este strict descrescătoare, iar dacă $r=0$ este constantă. Același șir se poate scrie prin recurența $a_{n+1}=a_n+r$ .

Progresia aritmetică: proprietăți și formule

Orice termen în afară de primul este semisuma vecinilor lui: $a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ . Este adevărat și reciproc: dacă pentru orice șirul este o progresie aritmetică. Pentru trei numere consecutive asta înseamnă

Progresia geometrică: definiția
Progresia geometrică pornește de la un număr nenul $b_1$ , iar fiecare termen următor este egal cu precedentul înmulțit cu același număr $q\ne0$ : $b_{k+1}=b_k\cdot q$ . Numărul este rația. Cele două numere și sunt de ajuns ca să scrii toți termenii. Monotonia depinde de ambele numere:

Cazul	Progresia
$b_1>0,\ q>1$ sau $b_1<0,\ 0<q<1$

Progresia geometrică: proprietăți și formule

Termenul general: $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$ , cu puterea $n-1$ .

Suma primilor n termeni ai progresiei geometrice

Pentru $q=1$ : $S_n=b_1\cdot n$ .
Pentru $q\ne1$ :

Progresia infinit descrescătoare
Dacă $\lvert q\rvert<1$ , progresia geometrică se numește infinit descrescătoare. Dacă în plus $q\ne0$ și $b_1\ne0$ , sumele parțiale se apropie de când crește; în manual este § 3.3, „Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare”. Formula se leagă de limita șirurilor.

Aplicații și condițiile problemei
Printre exercițiile manualului de clasa a XI-a sunt o problemă cu locurile dintr-un amfiteatru (fiecare rând următor are cu același număr de locuri mai multe) și una cu bacteria care se divide în fiecare oră în două. Rangul unui termen este număr natural, deci o rădăcină a ecuației în $n$ care nu este număr natural se respinge: în problema rezolvată din manualul de clasa a XII-a, rădăcinile sunt $4$ și $-8$ , iar $-8$ nu convine.

Cum rezolvi
Când enunțul dă două legături între termeni, de multe ori e comod să scrii fiecare termen prin $a_1$ și $r$ (sau $b_1$ și $q$ ), să formezi un sistem și să-l rezolvi. Soluțiile găsite se verifică în condițiile problemei.

Progresia aritmetică și geometrică: formule, proprietăți, sume

Ce cere programa

Ce trebuie să știi

Video

Restul temei e în abonament

Surse

Cine răspunde de pagină