Математика, BAC · Реальный профиль · Математический анализ · Последовательности действительных чисел

Арифметическая и геометрическая прогрессии: формулы, свойства, суммы

Арифметическая и геометрическая прогрессии на бакалавриате, реальный профиль: определения, общий член, свойства соседних членов и суммы. Здесь формулы из учебника, их применения и ловушки, из-за которых теряют баллы.

Что требует программа
Что нужно знать
Видео
Карточки
Тест по теме
На экзамене

Что нужно знать

Что требует программа
Программа бакалавриата для реального профиля (XI.1, последовательности действительных чисел) требует по этой теме арифметическую и геометрическую прогрессии, их свойства и приложения. Страница написана для кандидатов реального профиля. Всё сводится к нескольким формулам и к внимательному чтению условия.

Арифметическая прогрессия: определение
Если в последовательности действительных чисел разность между любым членом и предыдущим одна и та же, $a_{k+1}-a_k=r$ , это арифметическая прогрессия. Постоянное $r$ носит название «разность», а первое число $a_1$ — «первый член». Двух чисел $a_1$ и $r$ достаточно, чтобы выписать все члены. При $r>0$ прогрессия строго возрастает, при $r<0$ строго убывает, при $r=0$ постоянна. Ту же последовательность можно задать рекуррентно: $a_{n+1}=a_n+r$ .

Арифметическая прогрессия: свойства и формулы

Любой член, кроме первого, равен полусумме двух соседних: $a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ . Верно и обратное: если при всех последовательность — арифметическая прогрессия. Для трёх подряд идущих чисел это значит

Геометрическая прогрессия: определение
Геометрическая прогрессия начинается с ненулевого числа $b_1$ , а чтобы получить следующий член, предыдущий домножают на фиксированное число $q\ne0$ : $b_{k+1}=b_k\cdot q$ . Число — знаменатель. Двух чисел и достаточно, чтобы выписать все члены. Монотонность зависит от обоих чисел:

Случай	Прогрессия
$b_1>0,\ q>1$ или $b_1<0,\ 0<q<1$

Геометрическая прогрессия: свойства и формулы

Общий член: $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$ , показатель степени $n-1$ .

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

При $q=1$ : $S_n=b_1\cdot n$ .
При $q\ne1$ :

Бесконечно убывающая прогрессия
Если $\lvert q\rvert<1$ , геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей. Если при этом $q\ne0$ и $b_1\ne0$ , частичные суммы при росте приближаются к в учебнике это п. 3.3 «Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии». Формула связана с пределом последовательности.

Приложения и условия задачи
Среди упражнений учебника XI класса есть задача про места в амфитеатре (в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше) и задача про бактерию, которая каждый час делится на две. Номер члена последовательности — натуральное число, поэтому корень уравнения относительно $n$ , не являющийся натуральным, отбрасывают: в решённой задаче учебника XII класса корни равны $4$ и $-8$ , и $-8$ не подходит.

Как решать
Если в условии две связи между членами, часто удобно записать каждый член через $a_1$ и $r$ (или $b_1$ и $q$ ), составить систему и решить её. Найденные значения проверяют по условию задачи.

Арифметическая и геометрическая прогрессии: формулы, свойства, суммы

Что требует программа

Что нужно знать

Видео

Остальное по теме — в подписке

Источники

Кто отвечает за страницу