Puteri, radicali și logaritmi la profilul umanist: calcul și proprietăți
Puterea cu exponent rațional, radicalii de ordinul 2 și 3 și logaritmul unui număr pozitiv, cu proprietățile lor, la nivelul lucrării de profil umanist. Aici ai regulile, raționalizarea numitorului și calculul unei expresii cu logaritmi.
X.1. Elemente de teoria mulțimilor şi logică matematică […]
Puterea cu exponent număr rațional. Radicali (ordinul 2 și 3). Proprietăți.
Logaritmul unui număr pozitiv. Proprietăți. […]
Aplicații ale numerelor reale, inclusiv ale proporțiilor și procentelor, ale radicalilor și logaritmilor, în diverse domenii: viață cotidiană, fizică, chimie, biologie, literatură, arte, finanțe, economie, istorie, geografie, antreprenoriat.
Aprobată prin Ordinul MEC nr. 1499 din 04.11.2021.
Ce trebuie să știi
Ce se cere la profilul umanist Pagina urmează programa lucrării pentru profilul umanist: puterea cu exponent rațional, radicalii de ordinul 2 și 3 și logaritmul unui număr pozitiv, fiecare cu proprietățile lui. Se cere să știi regulile și să le aplici pas cu pas, în calcule numerice. Baremul împarte punctajul pe etape ale rezolvării, în puncte întregi și fără puncte suplimentare; dacă itemul nu impune metoda, orice cale corectă este acceptată, iar calculele și argumentările pe care itemul nu le cere nu se cer nici la barem. La itemii „Arătați că” (2024 și 2026, mai jos) baremul dă puncte pe etapele rezolvării.
Radicalii de ordinul 2 și 3 Radicalul de ordinul 3 din a este numărul b cu b3=a. Există pentru orice număr real a și poate fi negativ: 3−343=−7. Radicalul de ordinul 2, a, este numărul nenegativ al cărui pătrat este a. El există numai pentru a≥0, deci −9 nu are sens în R.
Proprietăți, pentru a,b≥0 (la ordinul 3, pentru orice a,b reali):
nab=na⋅nb
Le citești în ambele sensuri. De la dreapta la stânga unești radicalii: 2⋅18=36=6. De la stânga la dreapta scoți factorul de sub radical: Dacă nu cunoști semnele factorilor, aceste proprietăți nu se aplică: manualul numește greșită o asemenea scriere. Dacă radicalul este de ordin par și sub el sunt variabile, manualul trimite la proprietățile cu modul, de exemplu nu La introducerea factorului sub radical minusul rămâne în afară:
Raționalizarea numitorului Raționalizarea numitorului elimină radicalii de la numitorul unei fracții. Dacă numitorul conține un singur radical nb, amplifici fracția cu nbn−1: la ordinul 2 cu la ordinul 3 cu De exemplu, și Dacă numitorul este amplifici cu expresia conjugată (aceiași termeni, semnul dintre ei schimbat). La numitor rămâne fiindcă Raționalizarea apare și în itemi de la alte teme: la bacalaureatul din 2026, itemul 10 (funcții) are o fracție cu numitorul
Puterea cu exponent rațional Știi deja a0=1 (a=0) și a−n=an1; expresia nu este definită. Manualul definește puterea cu exponent fracționar pentru baza pozitivă: cu întreg și Deci iar Puterea unui număr pozitiv este pozitivă, iar
Proprietăți, pentru a,b>0 și x,y numere raționale:
ax⋅ay=ax+y și ayax=ax−y
Manualul arată că puterea cu exponent real a unui număr pozitiv are aceleași proprietăți; de aceea (ax)y=axy se poate aplica și când exponentul este un logaritm, ca în exemplul de mai jos. La comparare, pentru a>1 puterea crește odată cu exponentul, iar pentru scade. Cum calculezi: scrii zecimalele ca fracții ( scrii baza ca putere a unui număr mic și aplici De exemplu,
Logaritmul Egalitatea logac=b înseamnă ab=c: logaritmul este exponentul la care ridici baza a ca să obții De exemplu, fiindcă Condiții: Baza nu poate fi fiindcă pentru orice și ar rămâne nedeterminat. Argumentul trebuie să fie pozitiv, fiindcă puterile pozitive dau numai valori pozitive; de aceea nu are sens. Notații: (logaritm zecimal) și (logaritm natural), cu
Proprietăți, pentru x,y>0 și baze pozitive, diferite de 1:
logaa=1,loga1=0 și alogac=c
La comparare, dacă baza este mai mare ca 1, logaritmul crește odată cu argumentul; dacă baza este între 0 și 1, el scade.
Cum calculezi o expresie cu logaritmi
1)Scrie bazele și argumentele ca puteri ale unor numere mici: 0,5=2−1,2=221,
Orice număr pozitiv c se poate scrie ca putere, c=alogac, sau ca logaritm, c=logaac. Uneori ai nevoie de a doua scriere, de exemplu
Anexa lucrării La sfârșitul lucrării pentru profilul umanist se tipărește o anexă cu formule. Formulele de logaritmi din ea se schimbă de la o sesiune la alta: în sesiunea de bază 2026 sunt patru (suma, diferența, logaritmul puterii argumentului și puterea bazei), în sesiunea suplimentară 2025 este una (puterea bazei). Învață-le pe toate, ca să nu depinzi de anexă.
Video
Videourile sunt de pe canalele altor autori, nu de la Nota10. Nimic de pe YouTube nu se încarcă până nu apeși pe video.
Toată partea de radicali și de puteri a temei, în ordinea programei: radicalii de ordinul 2 și 3 și proprietățile lor, scoaterea și introducerea factorului, raționalizarea numitorului (inclusiv cu conjugata), apoi puterea cu exponent rațional și exerciții de calcul.
Definiția logaritmului și condițiile pentru bază și argument, logaritmul zecimal și cel natural, lista proprietăților (suma, diferența, puterea argumentului, puterea bazei, schimbarea bazei) și exerciții de calcul.
Manual · Ion Achiri, Petru Efros, Valentin Garit, Nicolae Prodan · 2025 · p. 25–27, 29–31, 33–36, 39 (numerotarea tipărită; în PDF cu o pagină mai târziu) · în română
FREIGHT PATH SRL · IDNO 1026600014400 · MD-2002, Republica Moldova, mun. Chișinău, sect. Botanica, bd. Decebal 6 · nota10contact.md@gmail.com
3-D Secure
Sursa testelor: Agenția Națională pentru Curriculum și Evaluare, ance.gov.md. Nota10 nu este afiliat MEC sau ANCE. Corectarea automată este o estimare, nu o notă oficială.
nba=nbna,b=0
(na)k=nak
72=36⋅2=62.
a2=∣a∣,
a.
−72=−98.
b,
3b2.
64=646=326
321=32⋅3434=234.
a±b,
a−b,
(a−b)(a+b)=a−b:
5−23=5−23(5+2)=5+2.
2−3.
00
anm=nam,
a>0,
m
n≥2.
a21=a,
2732=(327)2=9.
a−nm=anm1.
(ax)y=axy
(ab)x=axbx și (ba)x=bxax
0<a<1
0,25=41,
0,75=43),
(ax)y=axy.
320,4=(25)52=22=4.
c.
log381=4,
34=81.
a>0,
a=1,
c>0.
1,
1b=1
b
b
log3(−6)
lgc=log10c
lnc=logec
e=2,71…
loga(xy)=logax+logay
logayx=logax−logay
logaxα=αlogax
logaαx=α1logax, cu α=0
logax=logcalogcx și logac=logca1
251=5−2.
2)Scoate exponentul bazei în fața logaritmului, cu logaαx=α1logax; la 0,5=2−1 apare semnul minus.
3)Adu logaritmii la aceeași bază și unește suma sau diferența într-un singur logaritm.
