Степени, корни и логарифмы в гуманитарном профиле: вычисления и свойства
Степень с рациональным показателем, корни 2 и 3 степеней и логарифм положительного числа со свойствами, на уровне работы гуманитарного профиля. Здесь правила, избавление от иррациональности в знаменателе и вычисление логарифмов.
X.1. Элементы теории множеств и математической логики […]
Степень с рациональным показателем. Корни 2 и 3 степеней. Свойства.
Логарифм положительного числа. Свойства. […]
Приложения действительных чисел, включая пропорции и проценты, корни и логарифмы в различных областях: в повседневной жизни, физике, химии, биологии, литературе, искусстве, финансах, экономике, истории, предпринимательстве.
Что требуется в гуманитарном профиле Страница следует программе работы для гуманитарного профиля: степень с рациональным показателем, корни 2 и 3 степеней и логарифм положительного числа, каждое со своими свойствами. Нужно знать правила и применять их шаг за шагом в числовых вычислениях. Схема проверки делит баллы по этапам решения, целыми числами и без дополнительных баллов; если в задании не указан метод, засчитывается любой верный путь, а вычисления и объяснения, не предусмотренные в условии, не требуются. В заданиях «Покажите, что» (2024 и 2026 годы, ниже) схема даёт баллы за этапы решения.
Корни 2 и 3 степеней Корень 3 степени из a — это число b, для которого b3=a. Он существует для любого действительного a и может быть отрицательным: 3−343=−7. Квадратный корень a — неотрицательное число, квадрат которого равен a. Он существует только при a≥0, поэтому −9 в R не имеет смысла.
Свойства для a,b≥0 (для корня 3 степени — для любых действительных a,b):
nab=na⋅nb
Их читают в обе стороны. Справа налево корни объединяют: 2⋅18=36=6. Слева направо множитель выносят из-под знака корня: Если знаки множителей неизвестны, эти свойства применять нельзя: учебник называет такую запись ошибочной. Если степень корня чётная и под корнем стоят переменные, учебник отсылает к свойствам с модулем, например а не При внесении множителя под знак корня минус остаётся снаружи:
Избавление от иррациональности в знаменателе Так называют преобразование, которое убирает корни из знаменателя дроби. Если в знаменателе один корень nb, дробь умножают на nbn−1: для корня 2 степени на для корня 3 степени на Например, и Если в знаменателе числитель и знаменатель умножают на сопряжённое выражение (те же слагаемые, знак между ними обратный). В знаменателе остаётся потому что Избавление от иррациональности встречается и в заданиях по другим темам: в экзамене 2026 года задание 10 (функции) содержит дробь со знаменателем
Степень с рациональным показателем Ты уже знаешь a0=1 (a=0) и a−n=an1; выражение не определено. Учебник определяет степень с дробным показателем для положительного основания: где целое, Значит, а Степень положительного числа положительна, а
Свойства для a,b>0 и рациональных x,y:
ax⋅ay=ax+y и ayax=ax−y
Учебник показывает, что степень положительного числа с действительным показателем обладает теми же свойствами; поэтому (ax)y=axy можно применять и тогда, когда показатель — логарифм, как в примере ниже. При сравнении: если a>1, степень растёт вместе с показателем, а если убывает. Как вычислять: десятичные дроби записывают обыкновенными ( основание представляют как степень небольшого числа и применяют Например,
Логарифм Равенство logac=b означает ab=c: логарифм — это показатель, в который возводят основание a, чтобы получить Например, потому что Условия: Основание не может быть равно при любом и остался бы неопределённым. Аргумент должен быть положительным, потому что положительные степени дают только положительные значения; поэтому не имеет смысла. Обозначения: (десятичный логарифм) и (натуральный логарифм), где
Свойства для x,y>0 и положительных оснований, отличных от 1:
logaa=1,loga1=0 и alogac=c
При сравнении: если основание больше 1, логарифм растёт вместе с аргументом; если основание между 0 и 1, он убывает.
Как вычислять выражение с логарифмами
1)Запиши основания и аргументы как степени небольших чисел: 0,5=2−1,2=221,
Любое положительное число c можно записать как степень, c=alogac, или как логарифм, c=logaac. Иногда нужна вторая запись, например
Приложение к работе В конце работы гуманитарного профиля напечатано приложение с формулами. Логарифмические формулы в нём меняются от сессии к сессии: в основной сессии 2026 года их четыре (сумма, разность, логарифм степени аргумента и степень основания), в дополнительной сессии 2025 года — одна (степень основания). Выучи все, чтобы не зависеть от приложения.
Видео
Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.
Корни: определение, свойства, вынесение множителя из-под знака корня и внесение под знак корня; с 25-й минуты избавление от иррациональности в знаменателе, в том числе с сопряжённым выражением. В видео корень рассмотрен для любой степени n, для гуманитарного профиля нужны корни 2 и 3 степеней.
С первой до 14-й минуты: определение степени с рациональным показателем для положительного основания, примеры, свойства и сравнение степеней. С 14:41 идёт степень с иррациональным показателем: в содержании программы указан только рациональный показатель.
С 3:46: определение логарифма, десятичный логарифм, примеры, затем свойства (сумма, разность, степень аргумента, степень основания, переход к новому основанию) с доказательствами и примерами. Первые минуты — история логарифмов и их применения.
Остальное по теме — в подписке
Конспект, источники и видео открыты всем. С подпиской на этой странице открываются:
20 карточек с фактами темы — они попадают в ежедневное повторение
тест по теме: 10 вопросов с ответами и объяснениями
Учебник · Ион Акири, Валентин Гарит, Петру Ефрос, Николае Продан · 2025 · с. 25–27, 29–31, 33–36, 39 (печатная нумерация; в PDF на одну страницу дальше) · на русском
Источник тестов: Национальное агентство по куррикулуму и оценке, ance.gov.md. Nota10 не связан с MEC или ANCE. Автоматическая проверка — ориентир, а не официальная оценка.
nba=nbna,b=0
(na)k=nak
72=36⋅2=62.
a2=∣a∣,
a.
−72=−98.
b,
3b2.
64=646=326
321=32⋅3434=234.
a±b,
a−b,
(a−b)(a+b)=a−b:
5−23=5−23(5+2)=5+2.
2−3.
00
anm=nam,
a>0,
m
n≥2.
a21=a,
2732=(327)2=9.
a−nm=anm1.
(ax)y=axy
(ab)x=axbx и (ba)x=bxax
0<a<1,
0,25=41,
0,75=43),
(ax)y=axy.
320,4=(25)52=22=4.
c.
log381=4,
34=81.
a>0,
a=1,
c>0.
1:
1b=1
b,
b
log3(−6)
lgc=log10c
lnc=logec
e=2,71…
loga(xy)=logax+logay
logayx=logax−logay
logaxα=αlogax
logaαx=α1logax, где α=0
logax=logcalogcx и logac=logca1
251=5−2.
2)Вынеси показатель основания перед логарифмом по формуле logaαx=α1logax; у 0,5=2−1 появляется минус.
3)Приведи логарифмы к одному основанию и объедини сумму или разность в один логарифм.
