Matematica, Clasa a IX-a · Geometrie

Corpuri de rotație: cilindru, con, sferă. Elemente, arii, volume

Cilindrul, conul și sfera: elemente, secțiune axială, arie și volum, cu formulele din manualul clasei a IX-a. Aici ai tot ce cere programa la elemente, arii și volume, plus transformările de unități pentru problemele cu vase.

Ce cere programa
Ce trebuie să știi
Desene și scheme
Video
Cartonașe
Testul temei
La examen
Surse

Ce trebuie să știi

Ce cere programa
Programa examenului de gimnaziu cere trei corpuri de rotație: cilindrul circular drept, conul circular drept și sfera împreună cu corpul sferic (bila). Pentru fiecare cere elementele, aria suprafeței și volumul. Trunchiul de con nu apare în programă.

Corpuri de rotație
Suprafețele acestor corpuri se obțin prin rotația completă a unei figuri în jurul unei drepte; de aici numele de corpuri de rotație (sau corpuri rotunde). Un dreptunghi rotit în jurul uneia dintre laturi dă un cilindru, iar un triunghi dreptunghic rotit în jurul uneia dintre catete dă un con.

Cilindrul circular drept
Bazele cilindrului sunt două discuri congruente aflate în plane paralele. Segmentele paralele cu dreapta centrelor, cu capetele pe cercurile bazelor, sunt generatoarele, iar mulțimea lor este suprafața laterală. Când generatoarele sunt perpendiculare pe planele bazelor, cilindrul este drept și generatoarea este chiar înălțimea lui; în clasa a IX-a se studiază numai cilindrul drept.

Secțiunea axială: planul care conține centrele bazelor taie cilindrul după un dreptunghi cu laturile egale cu înălțimea și cu diametrul bazei. Dreapta centrelor este axa de simetrie.
Desfășurarea: două discuri egale și un dreptunghi cu laturile $2\pi r$ (lungimea cercului bazei) și $h$ .

Conul circular drept
Conul are un vârf $V$ și o bază, care este un disc. Generatoarele sunt segmentele de la vârf la punctele cercului bazei, iar mulțimea lor este suprafața laterală. Dacă dreapta $VO$ de la vârf la centrul bazei este perpendiculară pe bază, conul este drept, iar $VO$ este înălțimea lui.

Secțiunea axială este un triunghi isoscel, iar axa de simetrie este dreapta $VO$ .
Desfășurarea: un disc (baza) și un sector de cerc cu raza egală cu generatoarea $g$ , al cărui arc are lungimea cercului bazei.
Înălțimea $h$ , raza $r$ și generatoarea $g$ formează un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $g$ , deci

Sfera și bila
Fixăm un punct $O$ și o distanță $R$ : punctele spațiului aflate exact la distanța $R$ de $O$ formează sfera de centru $O$ și rază $R$ . Un segment care leagă centrul de un punct al sferei este o rază; un segment cu ambele capete pe sferă este o coardă, iar coarda care trece prin centru este un diametru. Dacă alături de sferă luăm și punctele din interiorul ei, avem bila (corpul sferic). Un plan care intersectează sfera o taie după un cerc; când centrul acestui cerc coincide cu centrul sferei, cercul se numește cerc mare.

Formule
Notații: $r$ este raza bazei, $h$ înălțimea, $g$ generatoarea, $R$ raza sferei. Diametrul este de două ori raza ( $d=2R$ , fiindcă lungimea aceluiași cerc este $\pi d$ și

Corp	Aria laterală	Aria totală	Volumul
Cilindru	$2\pi rh$	$2\pi r(h+r)$	$\pi r^2h$

Aria totală a cilindrului este aria laterală plus două baze, $2\pi rh+2\pi r^2$ , fiindcă aria discului este $\pi r^2$ ; la con se adaugă o singură bază. Volumul cilindrului este aria bazei înmulțită cu înălțimea, iar volumul conului este o treime din această valoare. Manualul de clasa a IX-a dă formulele sferei fără demonstrație (se demonstrează în clasa a XII-a), iar tu le aplici.

Unități la problemele cu vase
Capacitatea unui vas arată cât încape în el: este volumul spațiului din interior. Reține trei relații: 1 l = 1 dm³, 1 dm³ = 1000 cm³ și 1 l = 1000 ml. Transformă toate lungimile în aceeași unitate înainte de a le pune în formulă, iar volumele compară-le abia după ce le-ai adus la o unitate comună.

Cum alegi calea
Citește ce se cere: o suprafață sau un volum. La aria conului intră generatoarea, la volumul lui înălțimea; dacă îți sunt date $r$ și $h$ , afli întâi $g$ .

În cele cinci subiecte reale de mai jos se cere volumul și transformarea unităților; elementele corpurilor și aria suprafețelor sunt în program, dar nu apar în aceste subiecte.

Corpuri de rotație: cilindru, con, sferă. Elemente, arii, volume

Ce cere programa

Ce trebuie să știi

Desene și scheme

Video

Restul temei e în abonament

Surse

Cine răspunde de pagină