Математика, 9 класс · Геометрия

Тела вращения: цилиндр, конус, сфера. Элементы, площади, объёмы

Цилиндр, конус и сфера: элементы, осевое сечение, площадь поверхности и объём по формулам учебника для 9 класса. Здесь всё, что программа требует по элементам, площадям и объёмам, и переводы единиц для задач с сосудами.

Что требует программа
Что нужно знать
Чертежи и схемы
Видео
Карточки
Тест по теме
На экзамене
Источники
Ещё 3 раздела — в подписке

Что нужно знать

Что требует программа
Программа экзамена за гимназию требует три тела вращения: прямой круговой цилиндр, прямой круговой конус, а также сферу и шар. Для каждого нужны элементы, площадь поверхности и объём. Усечённого конуса в программе нет.

Тела вращения
Поверхности этих тел получаются при полном вращении фигуры вокруг прямой, поэтому их называют телами вращения (или круглыми телами). Прямоугольник, вращающийся вокруг одной из сторон, даёт цилиндр, а прямоугольный треугольник, вращающийся вокруг катета, — конус.

Прямой круговой цилиндр
Основаниями цилиндра служат два конгруэнтных круга, лежащих в параллельных плоскостях. Отрезки, параллельные прямой центров, с концами на окружностях оснований — образующие, а их множество — боковая поверхность. Когда образующие перпендикулярны плоскостям оснований, цилиндр прямой, и образующая является его высотой; в IX классе изучают только прямой цилиндр.

Осевое сечение: плоскость, проходящая через центры оснований, пересекает цилиндр по прямоугольнику со сторонами, равными высоте и диаметру основания. Прямая центров — ось симметрии.
Развёртка: два равных круга и прямоугольник со сторонами $2\pi r$ (длина окружности основания) и $h$ .

Прямой круговой конус
У конуса есть вершина $V$ и основание — круг. Образующие — отрезки от вершины до точек окружности основания, а их множество — боковая поверхность. Если прямая $VO$ от вершины к центру основания перпендикулярна основанию, конус прямой, и $VO$ — его высота.

Осевое сечение — равнобедренный треугольник, а ось симметрии — прямая $VO$ .
Развёртка: круг (основание) и круговой сектор, радиус которого равен образующей $g$ , а длина дуги — длине окружности основания.
Высота $h$ , радиус $r$ и образующая $g$ образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой $g$ , поэтому

Сфера и шар
Зафиксируем точку $O$ и расстояние $R$ : все точки пространства, удалённые от $O$ ровно на $R$ , образуют сферу с центром $O$ и радиусом $R$ . Отрезок, соединяющий центр с точкой сферы, — радиус; отрезок с обоими концами на сфере — хорда, а хорда, проходящая через центр, — диаметр. Если к сфере добавить точки внутри неё, получится шар (сферическое тело). Плоскость, пересекающая сферу, высекает на ней окружность; когда центр этой окружности совпадает с центром сферы, окружность называется большой.

Формулы
Обозначения: $r$ — радиус основания, $h$ — высота, $g$ — образующая, $R$ — радиус сферы. Диаметр вдвое больше радиуса ( $d=2R$ , потому что длина одной и той же окружности равна $\pi d$ и

Тело	Боковая поверхность	Полная поверхность	Объём
Цилиндр	$2\pi rh$	$2\pi r(h+r)$	$\pi r^2h$

Полная поверхность цилиндра — это боковая поверхность плюс два основания, $2\pi rh+2\pi r^2$ , потому что площадь круга равна $\pi r^2$ ; у конуса добавляется одно основание. Объём цилиндра — площадь основания, умноженная на высоту, а объём конуса — треть этой величины. Учебник 9 класса даёт формулы сферы без доказательства (их докажут в 12 классе), а ты их применяешь.

Единицы в задачах про сосуды
Ёмкость сосуда показывает, сколько в него помещается: это объём пространства внутри. Запомни три соотношения: 1 л = 1 дм³, 1 дм³ = 1000 см³ и 1 л = 1000 мл. Переведи все длины в одну единицу до подстановки в формулу, а объёмы сравнивай только после приведения к общей единице.

Как выбрать путь
Прочитай, что требуется: поверхность или объём. В площадь конуса входит образующая, в объём — высота; если даны $r$ и $h$ , сначала найди $g$ .

В пяти реальных заданиях ниже требуются объём и перевод единиц; элементы тел и площади поверхностей есть в программе, но в этих заданиях не встречаются.

Видео

Видео — с каналов других авторов, не от Nota10. С YouTube ничего не загружается, пока ты не нажмёшь на видео.

Канал: Наталья Воронко · YouTube

О чём: Все три тела: как они получаются вращением, элементы, развёртки, осевые сечения и формулы площадей и объёмов цилиндра, конуса и шара. Усечённый конус, который показан в конце, в программу не входит.

Канал: Инна Мунтян · YouTube

О чём: Сфера: центр, радиус, диаметр, хорда, большая окружность, формулы площади сферы и объёма шара и задача, где по площади большого круга находят радиус. Внимание: автор называет сферу «окружностью» и говорит «объём сферы»; в учебнике сфера — поверхность, а объём имеет шар.

Канал: Clasa Viitorului · YouTube

О чём: С 17:30, около восьми минут: две экзаменационные задачи — полная поверхность цилиндра (хватит ли краски) и объём конуса в сравнении с параллелепипедом. Остальные задачи видео — другие темы. Название и описание видео тему не называют; фрагмент подтверждён по субтитрам.

Тела вращения: цилиндр, конус, сфера. Элементы, площади, объёмы

Что требует программа

Что нужно знать

Чертежи и схемы

Видео

Остальное по теме — в подписке

Источники

Кто отвечает за страницу