Математический анализ: пределы, производные, интегралы

Множество значений
Начинай с очевидного неравенства и доводи его до $f(x)$: из $|x|\ge 0$ следует $-2|x|\le 0$, поэтому $f(x)=3-2|x|\le 3$ и $E(f)=(-\infty ;3]$.

Прогрессии

• арифметическая: $a_n=a_1+(n-1)r$, причём $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$
• геометрическая: $b_n=b_1{q}^{n-1}$, а для трёх последовательных членов $b^2=ac$, откуда $a=\sqrt{27\cdot 12}=18$
• сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$

Пределы

• замечательные пределы: $\underset{u\to 0}{\lim }\frac{\sin u}{u}=1$, $\underset{u\to 0}{\lim }\frac{e^u-1}{u}=1$, $\underset{u\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+u)}{u}=1$
• при неопределённости $\frac{0}{0}$ выноси общий множитель и сокращай; при $\frac{\infty }{\infty }$ дели на старшую степень
• чтобы воспользоваться замечательным пределом, умножь и раздели на аргумент: $\frac{1}{\sin \left(x^2+2x\right)}=\frac{1}{x^2+2x}\cdot \frac{x^2+2x}{\sin \left(x^2+2x\right)}$

Производные

• ${\left(x^{\alpha }\right)}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}$, $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$, ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$, $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$
• произведение: $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$; частное: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$; сложная функция: ${\left(f(u)\right)}^{\prime }=f^{\prime }(u)\cdot u^{\prime }$
• ${\left(e^{x^2}\right)}^{\prime }=2x{e}^{x^2}$, а ${\left(x{e}^{x^2}\right)}^{\prime }=e^{x^2}+2x^2{e}^{x^2}$

Касательная
Уравнение касательной в точке с абсциссой $x_0$: $y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$. Нужны два числа: значение функции и значение производной в этой точке.

Монотонность и экстремумы

1. 1)Находишь $f^{\prime }(x)$ и решаешь $f^{\prime }(x)=0$.
2. 2)Строишь кривую знаков производной на области определения.
3. 3)Там, где производная меняет знак с плюса на минус, — точка локального максимума, с минуса на плюс — минимума. Для $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ имеем $f^{\prime }(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$, и она обращается в нуль при $x=e$, точке локального максимума.

Асимптоты

• вертикальная в точке $x=a$, если односторонний предел в $a$ бесконечен
• горизонтальная при $+\infty$, если $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$ конечен
• наклонная $y=mx+n$, где $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ и $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(f(x)-mx\right)$; если $m$ не конечен и не равен нулю, наклонной асимптоты нет

Первообразные и интегралы

• $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C$ при $\alpha \ne -1$, $\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C$
• интегрирование по частям: $\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx$; для $\frac{\ln x}{x^2}$ берут $g^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2}$, откуда $g(x)=-\frac{1}{x}$
• постоянная $C$ находится из условия: если $F(1)=0$, подставь $x=1$ в первообразную
• формула Ньютона–Лейбница: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$, а площадь между графиком и осью $Ox$ на $[a;b]$ при $f\ge 0$ равна этому интегралу

Производные, которые встречаются в тестах

• ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$, ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$
• ${\left(e^u\right)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$ и ${\left(\ln u\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$, поэтому ${\left(e^{x^2}\right)}^{\prime }=2x{e}^{x^2}$
• произведение и частное требуют полного правила: ${\left(x{e}^{x^2}\right)}^{\prime }=e^{x^2}+2x^2{e}^{x^2}$, а ${\left(\frac{\ln x}{x^2}\right)}^{\prime }=\frac{1-2\ln x}{x^3}$

Таблица знаков, шаг за шагом

1. 1)Записываешь область определения, потому что знак изучается только на ней.
2. 2)Решаешь $f^{\prime }(x)=0$ и отмечаешь нули на оси.
3. 3)Берёшь по одному пробному значению в каждом промежутке и записываешь знак производной.
4. 4)Читаешь монотонность и экстремумы: переход с плюса на минус даёт максимум, с минуса на плюс — минимум.

Где теряются баллы

• касательная записана без $f(x_0)$, хотя верная форма — $y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$
• экстремум объявлен прямо из $f^{\prime }(x)=0$, без таблицы знаков, которая оценивается отдельно
• первообразная оставлена с неопределённой $C$, хотя условие задачи её задаёт
• пределы интегрирования взяты в обратном порядке при вычислении площади