Математический анализ: пределы, производные, интегралы

Множество значений
Начинай с очевидного неравенства и доводи его до $f(x)$: из $\lvert x\rvert\ge0$ следует $-2\lvert x\rvert\le0$, поэтому $f(x)=3-2\lvert x\rvert\le3$ и $E(f)=(-\infty;3]$.

Прогрессии

• арифметическая: $a_n=a_1+(n-1)r$, причём $a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$

Пределы

• замечательные пределы: $\lim\limits_{u\to0}\dfrac{\sin u}{u}=1$, $\lim\limits_{u\to0}\dfrac{e^u-1}{u}=1$,

Производные

• $\left(x^\alpha\right)'=\alpha x^{\alpha-1}$, $(\ln x)'=\dfrac1x$,

Касательная
Уравнение касательной в точке с абсциссой $x_0$: $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$. Нужны два числа: значение функции и значение производной в этой точке.

Монотонность и экстремумы

1. 1)Находишь $f'(x)$ и решаешь $f'(x)=0$.
2. 2)Строишь кривую знаков производной на области определения.
3. 3)Там, где производная меняет знак с плюса на минус, — точка локального максимума, с минуса на плюс — минимума. Для $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ имеем и она обращается в нуль при точке локального максимума.

Асимптоты

• вертикальная в точке $x=a$, если односторонний предел в $a$ бесконечен
• горизонтальная при $+\infty$, если $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\ell$ конечен

Первообразные и интегралы

• $\displaystyle\int x^\alpha dx=\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$ при

Производные, которые встречаются в тестах

• $\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$, $\left(\sqrt x\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt x}$,

Таблица знаков, шаг за шагом

1. 1)Записываешь область определения, потому что знак изучается только на ней.
2. 2)Решаешь $f'(x)=0$ и отмечаешь нули на оси.
3. 3)Берёшь по одному пробному значению в каждом промежутке и записываешь знак производной.
4. 4)Читаешь монотонность и экстремумы: переход с плюса на минус даёт максимум, с минуса на плюс — минимум.

Где теряются баллы

• касательная записана без $f(x_0)$, хотя верная форма — $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$