Combinatorică și probabilități: binom, numărări, șanse

Numărări de bază

• permutări, când toate elementele se aranjează: $P_n=n!$
• aranjamente, când contează ordinea și se iau doar $k$ elemente: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$
• combinări, când ordinea nu contează: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Întrebarea care alege formula este una singură: contează ordinea? O echipă, o mulțime de puncte sau o mână de cărți nu depind de ordine, deci se numără cu $C_n^k$.

Proprietăți ale combinărilor

• $C_n^0=C_n^n=1$, $C_n^1=n$, $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$
• simetria: $C_n^k=C_n^{n-k}$
• din $C_n^2=45$ rezultă $n(n-1)=90$, deci $n=10$

Numărări cu condiții
Când o alegere nu este permisă, numeri direct cazurile bune sau scazi cazurile rele din total. Pentru triunghiuri cu vârfuri printre puncte situate pe două drepte paralele, trei puncte de pe aceeași dreaptă nu formează triunghi: fie scazi aceste triplete din $C_7^3$, fie numeri direct $3\cdot C_4^2+4\cdot C_3^2$, adică două puncte de pe o dreaptă și unul de pe cealaltă.

Binomul lui Newton
$(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+\cdots +C_n^n{b}^n$, iar termenul general este $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$, cu $k$ de la $0$ la $n$.

• coeficientul binomial al termenului al treilea este $C_n^2$; coeficientul termenului include și factorii numerici din $a$ și $b$
• ca să găsești termenul care conține o putere dată a lui $x$, scrii exponentul lui $x$ în $T_{k+1}$ și rezolvi ecuația în $k$
• un termen este rațional când toți exponenții care apar sunt numere întregi: pentru $T_{k+1}=C_{10}^k{2}^{\frac{5(10-k)}{4}}{3}^{-\frac{k}{2}}$ se cer $\frac{5(10-k)}{4}\in \mathbb{Z}$ și $\frac{k}{2}\in \mathbb{Z}$

Probabilitatea clasică
$p=\frac{m}{n}$, unde $n$ este numărul cazurilor egal posibile și $m$ al celor favorabile; mereu $0\le p\le 1$.

• evenimentul contrar: $p\left(\overline{A}\right)=1-p(A)$
• evenimente independente: $p(A\cap B)=p(A)\cdot p(B)$
• un zar are $6$ fețe, două zaruri dau $36$ de rezultate, trei zaruri $6^3=216$; un zar împreună cu o monedă dau $12$ rezultate egal posibile

Până la primul succes
Dacă la o încercare succesul are probabilitatea $p$, iar eșecul $q=1-p$, atunci probabilitatea ca succesul să apară exact la a $k$-a încercare este $q^{k-1}p$. Pentru o monedă aruncată până cade stema, $p=\frac{1}{2}$ și $q=\frac{1}{2}$, deci exact trei aruncări dau ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$.

Tipurile de probleme care revin

• alegeri dintr-o mulțime de puncte, cu condiția ca ele să formeze un triunghi
• aruncări repetate până la primul succes, rezolvate cu $q^{k-1}p$
• termenul general al unei dezvoltări binomiale și condiția ca exponenții să fie numere întregi
• doi binomi comparați prin coeficientul unui anumit termen
• zaruri și monede, unde numărul cazurilor posibile este o putere: $6^k$ pentru $k$ zaruri

Cum numeri fără să greșești

1. 1)Stabilești dacă ordinea contează: o echipă sau o mulțime de puncte cere combinări, o așezare pe locuri cere aranjamente.
2. 2)Numeri întâi cazurile posibile, apoi pe cele favorabile, în același spațiu.
3. 3)Verifici că $0\le p\le 1$: dacă raportul depășește $1$, cele două numărări nu sunt din același spațiu.

Unde se pierd punctele
La itemii de $8$ puncte, cele mai multe puncte stau în numărarea cazurilor favorabile, nu în împărțirea finală. Se pierd prin tripletele coliniare uitate, prin confuzia dintre coeficientul binomial $C_n^k$ și coeficientul întreg al termenului și prin $p\cdot p$ în locul lui $q\cdot p$ la „exact a doua încercare”.