Комбинаторика и вероятности: бином, подсчёты, шансы

Основные подсчёты

• перестановки, когда расставляют все элементы: $P_n=n!$
• размещения, когда порядок важен и берут только $k$ элементов: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$
• сочетания, когда порядок не важен: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Вопрос, который выбирает формулу, всего один: важен ли порядок? Команда, набор точек или горсть шаров от порядка не зависят, поэтому их считают через $C_n^k$.

Свойства сочетаний

• $C_n^0=C_n^n=1$, $C_n^1=n$, $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$
• симметрия: $C_n^k=C_n^{n-k}$
• из $C_n^2=45$ следует $n(n-1)=90$, то есть $n=10$

Подсчёты с условием
Если какой-то выбор не годится, считай либо прямо нужные случаи, либо вычитай негодные из общего числа. Для треугольников с вершинами среди точек на двух параллельных прямых три точки одной прямой треугольника не дают: можно вычесть такие тройки из $C_7^3$, а можно сразу посчитать $3\cdot C_4^2+4\cdot C_3^2$, то есть две точки с одной прямой и одну с другой.

Бином Ньютона
$(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+\cdots +C_n^n{b}^n$, а общий член равен $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$, где $k$ меняется от $0$ до $n$.

• биномиальный коэффициент третьего члена равен $C_n^2$; коэффициент самого члена включает ещё и числовые множители из $a$ и $b$
• чтобы найти член с нужной степенью $x$, запиши показатель при $x$ в $T_{k+1}$ и реши уравнение относительно $k$
• член рационален, когда все показатели целые: для $T_{k+1}=C_{10}^k{2}^{\frac{5(10-k)}{4}}{3}^{-\frac{k}{2}}$ нужны $\frac{5(10-k)}{4}\in \mathbb{Z}$ и $\frac{k}{2}\in \mathbb{Z}$

Классическая вероятность
$p=\frac{m}{n}$, где $n$ — число равновозможных исходов, $m$ — число благоприятных; всегда $0\le p\le 1$.

• противоположное событие: $p\left(\overline{A}\right)=1-p(A)$
• независимые события: $p(A\cap B)=p(A)\cdot p(B)$
• у кости $6$ граней, две кости дают $36$ исходов, три кости $6^3=216$; кость вместе с монетой дают $12$ равновозможных исходов

До первого успеха
Если при одной попытке успех имеет вероятность $p$, а неудача $q=1-p$, то вероятность того, что успех случится ровно на $k$-й попытке, равна $q^{k-1}p$. Для монеты, которую бросают до герба, $p=\frac{1}{2}$ и $q=\frac{1}{2}$, поэтому ровно три броска дают ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$.

Типы задач, которые повторяются

• выбор из множества точек с условием, что они образуют треугольник
• повторные броски до первого успеха, решаемые формулой $q^{k-1}p$
• общий член биномиального разложения и условие целости показателей
• два бинома, сравниваемые по коэффициенту определённого члена
• кости и монеты, где число возможных исходов является степенью: $6^k$ для $k$ костей

Как считать без ошибок

1. 1)Определяешь, важен ли порядок: команда или множество точек требуют сочетаний, расстановка по местам — размещений.
2. 2)Сначала считаешь возможные исходы, затем благоприятные, в том же пространстве.
3. 3)Проверяешь, что $0\le p\le 1$: если отношение больше $1$, два подсчёта сделаны в разных пространствах.

Где теряются баллы
В заданиях на $8$ баллов большая часть балла лежит в подсчёте благоприятных случаев, а не в итоговом делении. Баллы теряют из-за забытых троек точек на одной прямой, из-за путаницы между биномиальным коэффициентом $C_n^k$ и полным коэффициентом члена и из-за $p\cdot p$ вместо $q\cdot p$ в задаче «ровно на второй попытке».