Geometrie: relații metrice, arii și volume la BAC

Triunghiul

• suma unghiurilor este $180^\circ$; teorema lui Pitagora: $i^2=c_1^2+c_2^2$
• teorema sinusurilor: $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}=2R$
• teorema cosinusului: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$
• arii: $\mathcal{A}=\dfrac{a h_a}{2}$, $\mathcal{A}=\dfrac{ab\sin\gamma}{2}$
• triunghiul echilateral cu latura $a$: înălțimea $\dfrac{a\sqrt3}{2}$, aria $\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$, raza cercului circumscris
• unghiul dublu: $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$, relație care rezolvă itemii cu $m(\angle A)=2m(\angle B)$

Proiecții
Proiecția unui punct pe o dreaptă este piciorul perpendicularei din acel punct. Dacă $A$, $M$, $B$ sunt coliniare, cu $M$ mijlocul lui $AB$, iar $A_1$, sunt proiecțiile lor pe o dreaptă care nu taie segmentul, atunci este linia mijlocie a trapezului

Cercul

• lungimea cercului $L=2\pi R$, aria discului $\pi R^2$
• unghiul înscris are jumătate din măsura arcului cuprins, iar unghiul la centru are măsura arcului
• un unghi înscris de $30^\circ$ se sprijină pe un arc de $60^\circ$, adică pe a șasea parte din cerc

Patrulatere

• paralelogram: $\mathcal{A}=b\cdot h$, unde $h$ este înălțimea, nu latura oblică
• romb: diagonalele sunt perpendiculare, se înjumătățesc și sunt bisectoare; $\mathcal{A}=\dfrac{d_1d_2}{2}$

Corpuri

• prisma dreaptă: $\mathcal{V}=\mathcal{A}_{b}\cdot H$; muchiile laterale sunt perpendiculare pe bază
• cubul cu muchia $a$: diagonala $a\sqrt3$, aria totală

Distanțe în spațiu
Distanța de la un punct la o dreaptă se măsoară pe perpendiculara dusă la acea dreaptă. Într-o prismă dreaptă, dacă $BK\perp AC$ în planul bazei, atunci și $B_1K\perp AC$, iar $B_1K=\sqrt{BK^2+BB_1^2}$: aceasta este teorema celor trei perpendiculare, pasul pe care baremul îl cere explicit.

Configurațiile care revin în teste

• triunghi dreptunghic isoscel cu cateta $c$: ipotenuza este $c\sqrt2$, iar unghiurile ascuțite au $45^\circ$

Unde se pierd punctele
Baremul plătește separat tocmai pașii pe care candidații îi sar: construirea proiecției unui punct pe o dreaptă, argumentarea că două segmente sunt congruente, scrierea raportului de asemănare din secțiunea axială a conului. Scrie-i explicit, chiar dacă ți se par evidenți: la itemii de $8$ puncte, jumătate din punctaj stă în acești pași intermediari, nu în calculul final.