Геометрия: метрические соотношения, площади и объёмы

Треугольник

• сумма углов равна $180^\circ$; теорема Пифагора: $i^2=c_1^2+c_2^2$
• теорема синусов: $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}=2R$
• теорема косинусов: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$
• площади: $\mathcal{A}=\dfrac{a h_a}{2}$, $\mathcal{A}=\dfrac{ab\sin\gamma}{2}$
• равносторонний треугольник со стороной $a$: высота $\dfrac{a\sqrt3}{2}$, площадь радиус описанной окружности
• двойной угол: $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ — именно это соотношение решает задания с $m(\angle A)=2m(\angle B)$

Проекции
Проекция точки на прямую — основание перпендикуляра, опущенного из этой точки. Если $A$, $M$, $B$ лежат на одной прямой, $M$ — середина $AB$, а $A_1$, — их проекции на прямую не пересекающую отрезок, то это средняя линия трапеции

Окружность

• длина окружности $L=2\pi R$, площадь круга $\pi R^2$
• вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается, центральный угол равен самой дуге
• вписанный угол в $30^\circ$ опирается на дугу в $60^\circ$, то есть на шестую часть окружности

Четырёхугольники

• параллелограмм: $\mathcal{A}=b\cdot h$, где $h$ — высота, а не наклонная сторона
• ромб: диагонали перпендикулярны, делятся пополам и являются биссектрисами; $\mathcal{A}=\dfrac{d_1d_2}{2}$

Тела

• прямая призма: $\mathcal{V}=\mathcal{A}_{b}\cdot H$, боковые рёбра перпендикулярны основанию
• куб с ребром $a$: диагональ $a\sqrt3$, полная поверхность

Расстояния в пространстве
Расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру к этой прямой. В прямой призме, если $BK\perp AC$ в плоскости основания, то и $B_1K\perp AC$, а $B_1K=\sqrt{BK^2+BB_1^2}$: это теорема о трёх перпендикулярах, шаг, который барем требует явно.

Конфигурации, которые повторяются в тестах

• прямоугольный равнобедренный треугольник с катетом $c$: гипотенуза равна $c\sqrt2$, а острые углы по $45^\circ$

Где теряются баллы
Барем оплачивает отдельно именно те шаги, которые пропускают: построение проекции точки на прямую, обоснование равенства двух отрезков, запись отношения подобия в осевом сечении конуса. Пиши их явно, даже если они кажутся очевидными: в заданиях на $8$ баллов половина балла лежит в этих промежуточных шагах, а не в последнем вычислении.