Algebră: ecuații, inecuații, sisteme, fracții algebrice

Formule de calcul prescurtat

• $(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$
• $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
• $(a\pm b{)}^3=a^3\pm 3a^{2}b+3a{b}^2\pm b^3$

Folosite invers, ele factorizează: $x^2+4x+4=(x+2{)}^2$, iar $x^2-9=(x-3)(x+3)$.

Gruparea termenilor
Când un polinom are patru termeni, grupează doi câte doi și scoate factorul comun: $2x^3-x^2+6x-3=x^2(2x-1)+3(2x-1)=\left(x^2+3\right)(2x-1)$.

Ecuația de gradul II
Pentru $a{x}^2+bx+c=0$, cu $a\ne 0$: $\Delta =b^2-4ac$ și $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$.

• $\Delta >0$ dă două soluții reale distincte, $\Delta =0$ dă una singură, $\Delta <0$ nu dă nicio soluție reală
• răspunsul se scrie ca mulțime: $S=\left\{1;\frac{5}{2}\right\}$
• când $a+b+c=0$, o rădăcină este $x=1$, ceea ce scurtă calculul

Inecuații

1. 1)Adu totul într-o parte și redu termenii asemenea; dacă termenii de gradul II se reduc, rămâne o inecuație de gradul I.
2. 2)Sensul inegalității se schimbă când înmulțești sau împarți cu un număr negativ: din $-2x>6$ rezultă $x<-3$.
3. 3)La inecuația de gradul II cu $a>0$, trinomul este negativ între rădăcini și pozitiv în afara lor.
4. 4)Când se cere „cel mai mic număr întreg”, rezolvă întâi inecuația, apoi alege întregul: din $x\ge \frac{5}{4}$ cel mai mic întreg este $2$, nu $\frac{5}{4}$.

Sisteme de ecuații
Prin substituție: scoate o necunoscută dintr-o ecuație și înlocuiește-o în cealaltă. Prin reducere: înmulțește o ecuație astfel încât o necunoscută să dispară la adunare. Verifică mereu soluția în ambele ecuații.

Din text în ecuație
Acesta este pasul pe care baremul îl plătește cel mai bine.

• notează necunoscutele cu litere și scrie ce înseamnă fiecare
• mișcare: $d=v\cdot t$, deci $t=\frac{d}{v}$; dacă distanța este aceeași, egalează distanțele
• amestec, preț, punctaj: scrie câte o ecuație pentru fiecare informație din text
• la final, întoarce-te la întrebare: de multe ori se cere altceva decât necunoscuta aflată

Fracții algebrice și DVA

• DVA cere numitorul diferit de zero: la $\frac{2x^3-x^2+6x-3}{2x^2+x-1}$ rezolvi $2x^2+x-1=0$ și obții $x\ne -1$, $x\ne \frac{1}{2}$
• simplifici doar după ce ai factorizat numărătorul și numitorul
• la adunarea fracțiilor algebrice, numitorul comun se ia din factorizări, nu din produsul brut
• o ecuație cu fracții se rezolvă înmulțind cu numitorul, dar soluțiile din afara DVA se elimină la final