Алгебра: уравнения, неравенства, системы, дроби

Формулы сокращённого умножения

• $(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$
• $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
• $(a\pm b{)}^3=a^3\pm 3a^{2}b+3a{b}^2\pm b^3$

В обратную сторону они раскладывают на множители: $x^2+4x+4=(x+2{)}^2$, а $x^2-9=(x-3)(x+3)$.

Группировка
Если в многочлене четыре члена, сгруппируй их по два и вынеси общий множитель: $2x^3-x^2+6x-3=x^2(2x-1)+3(2x-1)=\left(x^2+3\right)(2x-1)$.

Квадратное уравнение
Для $a{x}^2+bx+c=0$ при $a\ne 0$: $\Delta =b^2-4ac$ и $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$.

• $\Delta >0$ даёт два различных действительных корня, $\Delta =0$ — один, $\Delta <0$ — ни одного
• ответ записывается множеством: $S=\left\{1;\frac{5}{2}\right\}$
• если $a+b+c=0$, то один из корней равен $1$, и это сокращает вычисления

Неравенства

1. 1)Перенеси всё в одну часть и приведи подобные; если квадраты сокращаются, остаётся линейное неравенство.
2. 2)Знак меняется на противоположный при умножении или делении на отрицательное число: из $-2x>6$ следует $x<-3$.
3. 3)В квадратном неравенстве при $a>0$ трёхчлен отрицателен между корнями и положителен вне их.
4. 4)Когда просят «наименьшее целое число», сначала реши неравенство, а потом выбери целое: из $x\ge \frac{5}{4}$ наименьшее целое равно $2$, а не $\frac{5}{4}$.

Системы уравнений
Способом подстановки: вырази одно неизвестное и подставь во второе уравнение. Способом сложения: умножь уравнение так, чтобы одно неизвестное исчезло. Проверь найденную пару в обоих уравнениях.

От текста к уравнению
Именно этот шаг схема проверки оплачивает лучше всего.

• обозначь неизвестные буквами и запиши, что означает каждая
• движение: $d=v\cdot t$, значит $t=\frac{d}{v}$; если расстояние одно и то же, приравняй расстояния
• смеси, цена, баллы: составь по одному уравнению на каждое условие текста
• в конце вернись к вопросу: часто спрашивают не то неизвестное, которое ты нашёл первым

Алгебраические дроби и ОДЗ

• ОДЗ требует, чтобы знаменатель не был нулём: для $\frac{2x^3-x^2+6x-3}{2x^2+x-1}$ решаешь $2x^2+x-1=0$ и получаешь $x\ne -1$, $x\ne \frac{1}{2}$
• сокращать можно только после разложения числителя и знаменателя на множители
• общий знаменатель берётся из разложений, а не из произведения всех знаменателей подряд
• уравнение с дробями решают умножением на знаменатель, а корни вне ОДЗ в конце отбрасывают