Системы счисления: переводы и сравнение чисел

Что такое позиционная система
В системе с основанием $b$ используются цифры от $0$ до $b-1$, а вес цифры зависит от ее позиции:
$(a_2a_1a_0{,}a_{-1})_b = a_2b^2 + a_1b^1 + a_0b^0 + a_{-1}b^{-1}$.

• у основания 2 цифры 0 и 1, у основания 8 — от 0 до 7, у основания 16 — от 0 до 9 плюс A, B, C, D, E, F
• наибольшая цифра основания $b$ равна $b-1$: в восьмеричной системе цифры 8 не существует
• отсюда ответ на задания вида «основания, не содержащие цифру 7»: цифра 7 появляется начиная с основания 8, значит подходят основания с $b \le 7$

Из основания $b$ в десятичную
Умножаешь каждую цифру на вес ее позиции и складываешь:
$(674{,}5)_8 = 6 \cdot 8^2 + 7 \cdot 8^1 + 4 \cdot 8^0 + 5 \cdot 8^{-1} = 444{,}625$.Целая и дробная части оцениваются баремом отдельно, поэтому выписывай оба вычисления.

Из десятичной в основание $b$

• целая часть: последовательное деление на $b$, остатки читаются снизу вверх. Для $123$: $123 : 2 = 61$ остаток 1, $61 : 2 = 30$ остаток 1, $30 : 2 = 15$ остаток 0, остаток 1, остаток 1, остаток 1, остаток 1, значит

Двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная
Переход делается по группам, начиная от запятой наружу:

Неполные группы дополняются нулями: слева от запятой нули дописываются впереди, справа — в конце. Пример: $(674{,}5)_8 = (110\,111\,100{,}101)_2$, а те же двоичные цифры по четыре дают $(1BC{,}A)_{16}$.

Сравнение чисел из разных систем
Цифры сравнивать нельзя: приведи все числа к одному основанию, проще всего к десятичному, и только потом упорядочивай. $(5E{,}F)_{16} = 94{,}9375$, $(153{,}7)_8 = 107{,}875$, а остается как есть, поэтому по убыванию это

Степени двойки, которые нужны чаще всего
$2^0=1$, $2^1=2$, $2^2=4$, и отрицательные: