Sisteme de numerație: conversiuni și comparări

Ce este un sistem pozițional
Într-un sistem cu baza $b$ se folosesc cifrele de la $0$ la $b-1$, iar valoarea unei cifre depinde de poziția ei:
$(a_2{a}_1{a}_0,a_{-1}{)}_b=a_2{b}^2+a_1{b}^1+a_0{b}^0+a_{-1}{b}^{-1}$.

• baza 2 are cifrele 0 și 1, baza 8 cifrele de la 0 la 7, baza 16 cifrele de la 0 la 9 plus A, B, C, D, E, F
• cea mai mare cifră a bazei $b$ este $b-1$: în baza 8 nu există cifra 8
• de aici răspunsul la itemii de tipul „bazele care nu conțin cifra 7”: cifra 7 apare abia de la baza 8 în sus, deci bazele fără ea sunt cele cu $b\le 7$

Din baza $b$ în baza 10
Înmulțești fiecare cifră cu puterea poziției ei și aduni:
$(674,5{)}_8=6\cdot 8^2+7\cdot 8^1+4\cdot 8^0+5\cdot 8^{-1}=444,625$.
Partea întreagă și partea fracționară se punctează separat în barem, deci scrie ambele calcule.

Din baza 10 în baza $b$

• partea întreagă: împărțiri succesive la $b$, resturile se citesc de jos în sus. Pentru $123$: $123:2=61$ rest 1, $61:2=30$ rest 1, $30:2=15$ rest 0, $15:2=7$ rest 1, $7:2=3$ rest 1, $3:2=1$ rest 1, $1:2=0$ rest 1, deci $123=(1111011{)}_2$
• partea fracționară: înmulțiri succesive cu $b$, se citesc părțile întregi de sus în jos. Pentru $0,625$: $0,625\cdot 2=1,25$, $0,25\cdot 2=0,5$, $0,5\cdot 2=1$, deci $0,625=(0,101{)}_2$

Binar, octal, hexazecimal
Trecerea se face pe grupe, pornind de la virgulă spre exterior:

Grupele incomplete se completează cu zerouri: la stânga virgulei se adaugă zerouri în față, la dreapta virgulei se adaugă zerouri la sfârșit. Exemplu: $(674,5{)}_8=(110111100,101{)}_2$, iar aceleași cifre binare grupate câte patru dau $(1BC,A{)}_{16}$.

Compararea numerelor din baze diferite
Nu compari cifră cu cifră: aduci toate numerele în aceeași bază, cel mai simplu în zecimal, și abia apoi le ordonezi. $(5E,F{)}_{16}=94,9375$, $(153,7{)}_8=107,875$, iar $(123,625{)}_{10}$ rămâne cum este, deci ordinea descrescătoare este $123,625$, $107,875$, $94,9375$.

Puterile lui 2 care se cer cel mai des
$2^0=1$, $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$, $2^5=32$, $2^6=64$, $2^7=128$, $2^8=256$, $2^9=512$, $2^{10}=1024$; iar negative: $2^{-1}=0,5$, $2^{-2}=0,25$, $2^{-3}=0,125$.