Системы счисления: переводы и сравнение чисел

Что такое позиционная система
В системе с основанием $b$ используются цифры от $0$ до $b-1$, а вес цифры зависит от ее позиции:
$(a_2{a}_1{a}_0,a_{-1}{)}_b=a_2{b}^2+a_1{b}^1+a_0{b}^0+a_{-1}{b}^{-1}$.

• у основания 2 цифры 0 и 1, у основания 8 — от 0 до 7, у основания 16 — от 0 до 9 плюс A, B, C, D, E, F
• наибольшая цифра основания $b$ равна $b-1$: в восьмеричной системе цифры 8 не существует
• отсюда ответ на задания вида «основания, не содержащие цифру 7»: цифра 7 появляется начиная с основания 8, значит подходят основания с $b\le 7$

Из основания $b$ в десятичную
Умножаешь каждую цифру на вес ее позиции и складываешь:
$(674,5{)}_8=6\cdot 8^2+7\cdot 8^1+4\cdot 8^0+5\cdot 8^{-1}=444,625$.
Целая и дробная части оцениваются баремом отдельно, поэтому выписывай оба вычисления.

Из десятичной в основание $b$

• целая часть: последовательное деление на $b$, остатки читаются снизу вверх. Для $123$: $123:2=61$ остаток 1, $61:2=30$ остаток 1, $30:2=15$ остаток 0, $15:2=7$ остаток 1, $7:2=3$ остаток 1, $3:2=1$ остаток 1, $1:2=0$ остаток 1, значит $123=(1111011{)}_2$
• дробная часть: последовательное умножение на $b$, целые части читаются сверху вниз. Для $0,625$: $0,625\cdot 2=1,25$, $0,25\cdot 2=0,5$, $0,5\cdot 2=1$, значит $0,625=(0,101{)}_2$

Двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная
Переход делается по группам, начиная от запятой наружу:

Неполные группы дополняются нулями: слева от запятой нули дописываются впереди, справа — в конце. Пример: $(674,5{)}_8=(110111100,101{)}_2$, а те же двоичные цифры по четыре дают $(1BC,A{)}_{16}$.

Сравнение чисел из разных систем
Цифры сравнивать нельзя: приведи все числа к одному основанию, проще всего к десятичному, и только потом упорядочивай. $(5E,F{)}_{16}=94,9375$, $(153,7{)}_8=107,875$, а $(123,625{)}_{10}$ остается как есть, поэтому по убыванию это $123,625$, $107,875$, $94,9375$.

Степени двойки, которые нужны чаще всего
$2^0=1$, $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$, $2^5=32$, $2^6=64$, $2^7=128$, $2^8=256$, $2^9=512$, $2^{10}=1024$; и отрицательные: $2^{-1}=0,5$, $2^{-2}=0,25$, $2^{-3}=0,125$.