Algebră: puteri, logaritmi, polinoame, numere complexe

Puteri și radicali
Pentru $a>0$ și exponenți reali:

• $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, ${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$, $(ab{)}^n=a^n{b}^n$
• $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, deci ${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n}={\left(\frac{b}{a}\right)}^n$
• $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$, iar $\sqrt{a^2}=|a|$ pentru orice $a$ real
• radicalul de ordin impar există și din numere negative: $\sqrt[3]{-8}=-2$

Trucul care rezolvă aproape orice calcul: scrie toate numerele ca puteri ale aceleiași baze, de exemplu $32^{0,6}={\left(2^5\right)}^{0,6}=2^3=8$.

Logaritmi
${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$, unde $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$.

• ${\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$ și ${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$, pentru $x>0$, $y>0$
• ${\log }_a{x}^k=k{\log }_{a}x$ și ${\log }_{a^k}x=\frac{1}{k}{\log }_{a}x$, de exemplu ${\log }_{\sqrt{5}}2=2{\log }_{5}2$
• $a^{{\log }_{a}b}=b$, ${\log }_{a}a=1$, ${\log }_{a}1=0$, iar schimbarea bazei: ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

Ecuații și inecuații exponențiale și logaritmice

1. 1)Scrie DVA: argumentele logaritmilor strict pozitive, expresia de sub un radical de ordin par cel puțin zero.
2. 2)Adu la aceeași bază: $a^{f(x)}=a^{g(x)}⟺f(x)=g(x)$, iar ${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x)⟺f(x)=g(x)$ în DVA.
3. 3)La inecuații, sensul se păstrează dacă $a>1$ și se schimbă dacă $0<a<1$: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>{\left(\frac{1}{2}\right)}^3⟺x<3$.
4. 4)Când apar $a^{2x}$ și $a^x$, notează $t=a^x$, cu $t>0$, și rezolvă o ecuație de gradul II în $t$; nu uita condiția pe $t$.
5. 5)La final păstrezi doar soluțiile din DVA.

Ecuația de gradul II
Pentru $a{x}^2+bx+c=0$, $a\ne 0$: $\Delta =b^2-4ac$ și $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$.

• $\Delta >0$: două soluții reale distincte; $\Delta =0$: o soluție (dublă); $\Delta <0$: nicio soluție reală
• relațiile lui Viète: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$, $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$
• pentru $a>0$, trinomul este negativ doar între rădăcini și pozitiv în afara lor

Polinoame

• Teorema restului: restul împărțirii lui $P(X)$ la $X-a$ este $P(a)$.
• Teorema lui Bézout: $X=a$ este rădăcină a lui $P(X)$ dacă și numai dacă $P(a)=0$, adică $X-a$ divide $P(X)$.
• Câtul împărțirii la $X-a$ se află repede cu schema lui Horner.

Numere complexe
$z=a+bi$, cu $i^2=-1$; conjugatul este $\overline{z}=a-bi$, modulul $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.

• puterile lui $i$ se repetă din 4 în 4: $i^{4k}=1$, $i^{4k+1}=i$, $i^{4k+2}=-1$, $i^{4k+3}=-i$
• la împărțire amplifici cu conjugatul numitorului: $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$
• forma trigonometrică: $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$, cu $r=|z|$, $\cos \phi =\frac{a}{r}$, $\sin \phi =\frac{b}{r}$
• formula lui Moivre: $z^n=r^n(\cos n\phi +i\sin n\phi )$; unghiul $n\phi$ se reduce cu multipli de $2\pi$

Sisteme și parametri
Rezolvă prin substituție. Dacă sistemul se reduce la o ecuație de gradul II, „două soluții distincte” înseamnă $\Delta >0$, iar „o singură soluție” înseamnă $\Delta =0$ sau, dacă coeficientul lui $x^2$ depinde de parametru, cazul în care el devine zero și ecuația devine de gradul I.