Combinatorică, statistică, calcul financiar, probabilități

Probabilitatea clasică
$p=\frac{m}{n}$, unde $n$ este numărul cazurilor egal posibile și $m$ al celor favorabile; mereu $0\le p\le 1$.

• un zar are $6$ fețe: două zaruri dau $36$ de rezultate, iar trei zaruri $6^3=216$
• evenimentul contrar: $p\left(\overline{A}\right)=1-p(A)$
• când numeri cazurile favorabile, treci prin toate variantele ordonate: produsul $4$ la trei zaruri vine din $(1;1;4)$ și din $(1;2;2)$, fiecare în câte $3$ aranjări, deci $m=6$

Evenimente compuse

• independente: $p(A\cap B)=p(A)\cdot p(B)$
• incompatibile: $p(A\cup B)=p(A)+p(B)$
• „exact o singură dată” înseamnă reuniunea a două cazuri disjuncte: reușită la prima și eșec la a doua, sau eșec la prima și reușită la a doua, adică $p=p_1\left(1-p_2\right)+\left(1-p_1\right)p_2^{\prime }$, unde probabilitatea celei de-a doua încercări poate depinde de prima

Statistică

• media aritmetică: $\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$; de aici suma este $n\overline{x}$
• un termen lipsă se află din ecuația sumei: dacă media a $10$ valori este $7749$, suma lor este $77490$, iar valoarea necunoscută este diferența până la suma celorlalte
• mediana este valoarea din mijloc după ordonare; la un număr par de valori, media celor două din mijloc
• ca să afli ce procent dintr-un grup îndeplinește o condiție, împarți numărul lor la total și înmulțești cu $100$

Procente și calcul financiar

• o creștere cu $p\%$ înseamnă înmulțire cu $1+\frac{p}{100}$, o scădere cu $p\%$ înseamnă înmulțire cu $1-\frac{p}{100}$
• două schimbări succesive se înmulțesc, nu se adună: $1,2\cdot 0,85=1,02$, adică o creștere totală de $2\%$
• scumpire și apoi ieftinire cu același procent: $\left(1+\frac{x}{100}\right)\left(1-\frac{x}{100}\right)=1-\frac{x^2}{10000}$, deci prețul scade mereu
• din $1-\frac{x^2}{10000}=0,96$ rezultă $x^2=400$, deci $x=20$
• cu cât la sută s-a schimbat o valoare: $\frac{\text{diferența}}{\text{valoarea inițiala˘}}\cdot 100$

Cazurile care revin

• probabilitatea unui singur succes din două încercări, unde a doua depinde de rezultatul primei
• produsul punctelor la trei zaruri, unde fiecare variantă se numără cu toate ordonările ei
• media unui șir de valori din care una lipsește
• procentul valorilor care depășesc media
• scumpire și ieftinire succesivă cu același procent

Media, pas cu pas

1. 1)Scrii suma cerută de medie: $n\overline{x}$.
2. 2)Aduni valorile cunoscute.
3. 3)Necunoscuta este diferența dintre cele două sume.
4. 4)Abia apoi numeri câte valori depășesc media și transformi rezultatul în procente.

Unde se pierd punctele

• „exact o singură dată” calculat ca produs, deși sunt două cazuri disjuncte ale căror probabilități se adună
• numărul valorilor peste medie dat ca răspuns, când se cere procentul lor
• procentele adunate: două schimbări succesive se înmulțesc, iar $\left(1+\frac{x}{100}\right)\left(1-\frac{x}{100}\right)$ este mereu sub $1$
• cazurile la zaruri numărate fără ordonări, deci un $m$ prea mic