Funcții: monotonie, inecuații și progresii la BAC

Funcția și valorile ei
$f(a)$ se obține înlocuind $x$ cu $a$. Un punct $M(a;b)$ aparține graficului dacă $f(a)=b$, iar zeroul funcției este soluția ecuației $f(x)=0$.

Funcția de gradul I
$f(x)=ax+b$: pentru $a>0$ este strict crescătoare, pentru $a<0$ strict descrescătoare. Graficul este o dreaptă, iar $b=f(0)$.

Funcția de gradul II
$f(x)=a{x}^2+bx+c$, cu $a\ne 0$:

• vârful este $V\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$; pentru $a>0$ dă minimul, pentru $a<0$ maximul
• semnul trinomului: pentru $a>0$ este negativ între rădăcini și pozitiv în afara lor
• inecuația $a{x}^2+bx+c\le 0$ se rezolvă prin rădăcini și tabel de semne, nu prin simplificări

Funcția exponențială
$f(x)=a^x$, cu $a>0$ și $a\ne 1$:

• pentru $a>1$ este strict crescătoare, pentru $0<a<1$ strict descrescătoare
• exponentul negativ răstoarnă baza: ${\left(\frac{3}{a}\right)}^{-x}={\left(\frac{a}{3}\right)}^x$, deci funcția crește exact când baza răsturnată este supraunitară, $\frac{a}{3}>1$
• orice număr la puterea zero este $1$, deci $1={\left(\sqrt{5}-2\right)}^0$; cum $\sqrt{5}-2<1$, funcția scade și ${\left(\sqrt{5}-2\right)}^{10}<1$

Inecuații cu valorile a două funcții
Când se cere unde $g(x)\le f(x)$, scrii inecuația și o aduci la formă cunoscută:

1. 1)treci totul într-o parte;
2. 2)dacă apare o fracție cu $x$ la numitor, stabilește semnul lui $x$ înainte de a înmulți: înmulțirea cu un număr negativ schimbă sensul;
3. 3)rezolvă inecuația de gradul II obținută;
4. 4)intersectează cu condiția din enunț, de exemplu $x<0$ sau $x$ întreg.

Pentru $3x+2\ge \frac{5}{x}$ cu $x<0$, înmulțirea cu $x$ dă $3x^2+2x-5\le 0$, de unde $x\in \left[-\frac{5}{3};1\right]$, iar cu condiția $x<0$ rămâne $x\in \left[-\frac{5}{3};0\right)$.

Progresia aritmetică
$a_n=a_1+(n-1)r$, iar $a_{n+k}-a_n=kr$. Suma primilor $n$ termeni este $S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$. Ca să afli dacă un număr este termen, rezolvi $a_n=$ numărul dat și verifici dacă $n$ este număr natural nenul.

Progresia geometrică
$b_n=b_1{q}^{n-1}$, iar pentru trei termeni consecutivi $b^2=ac$. Doi termeni consecutivi din altă pereche se leagă prin puteri ale rației: din $b_3+b_4=q^2(b_1+b_2)$ se află $q^2$.

Funcția de gradul II, pe scurt
Vârful este $V\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$: pentru $a<0$ a doua coordonată este valoarea maximă, iar pentru $a>0$ este cea minimă. Semnul trinomului se citește din tabelul de semne, iar la inecuații capetele intră în soluție numai la $\le$ și $\ge$.

Progresii: ce cere baremul

• din două condiții se face un sistem: $a_4=10$ și $a_{10}-a_3=21$ dau $7r=21$, deci $r=3$ și $a_1=1$
• termenul general devine $a_n=3n-2$, iar întrebarea dacă un număr este termen se rezolvă cu ecuația $3n-2=2026$ în mulțimea numerelor naturale
• la progresia geometrică, perechile de termeni se leagă prin puteri ale rației: $b_3+b_4=q^2\left(b_1+b_2\right)$, de unde $q^2=4$ și apoi $b_1$

Unde se pierd punctele
Cele mai multe puncte se pierd la ultimul pas, nu la calcul: dai intervalul când se cer numere întregi, uiți condiția $x<0$ după ce ai înmulțit inecuația cu $x$, sau te oprești la valoarea lui $n$ fără să răspunzi la întrebarea pusă. Recitește cerința înainte de a scrie răspunsul final.