Функции: монотонность, неравенства и прогрессии

Функция и её значения
$f(a)$ получается подстановкой $a$ вместо $x$. Точка $M(a;b)$ принадлежит графику, если $f(a)=b$, а нуль функции — это решение уравнения $f(x)=0$.

Линейная функция
$f(x)=ax+b$: при $a>0$ строго возрастает, при $a<0$ строго убывает. График — прямая, а $b=f(0)$.

Квадратичная функция
$f(x)=ax^2+bx+c$ при $a\ne0$:

• вершина $V\left(-\dfrac{b}{2a};-\dfrac{\Delta}{4a}\right)$; при $a>0$ она даёт минимум, при максимум

Показательная функция
$f(x)=a^x$ при $a>0$ и $a\ne1$:

• при $a>1$ строго возрастает, при $0<a<1$ строго убывает
• отрицательный показатель переворачивает основание: $\left(\dfrac3a\right)^{-x}=\left(\dfrac a3\right)^{x}$, поэтому функция возрастает ровно тогда, когда перевёрнутое основание больше единицы:

Неравенства со значениями двух функций
Когда спрашивают, где $g(x)\le f(x)$, запиши неравенство и приведи его к знакомому виду:

1. 1)перенеси всё в одну часть;
2. 2)если появилась дробь с $x$ в знаменателе, определи знак $x$ до умножения: умножение на отрицательное число меняет знак неравенства;
3. 3)реши полученное квадратное неравенство;
4. 4)пересеки с условием задачи, например $x<0$ или «$x$ целое».

Для $3x+2\ge\dfrac5x$ при $x<0$ умножение на $x$ даёт откуда а с условием остаётся

Арифметическая прогрессия
$a_n=a_1+(n-1)r$, причём $a_{n+k}-a_n=kr$. Сумма первых членов равна Чтобы понять, является ли число членом прогрессии, реши это число и проверь, что — натуральное.

Геометрическая прогрессия
$b_n=b_1q^{n-1}$, а для трёх последовательных членов $b^2=ac$. Пары соседних членов связаны степенями знаменателя: из находится

Квадратичная функция, коротко
Вершина — $V\left(-\dfrac{b}{2a};-\dfrac{\Delta}{4a}\right)$: при $a<0$ вторая координата даёт наибольшее значение, при — наименьшее. Знак трёхчлена читается по таблице знаков, а в неравенствах концы входят в ответ только при и

Прогрессии: чего требует барем

• из двух условий составляется система: $a_4=10$ и $a_{10}-a_3=21$ дают значит и

Где теряются баллы
Большая часть баллов теряется на последнем шаге, а не в вычислении: даёшь промежуток там, где просят целые числа, забываешь условие $x<0$ после умножения неравенства на $x$ или останавливаешься на значении $n$, не ответив на сам вопрос. Перечитай условие перед тем, как записать окончательный ответ.