Geometrie: relații metrice, arii și volume la BAC

Triunghiul

• suma unghiurilor este $180^{\circ }$; teorema lui Pitagora: $i^2=c_1^2+c_2^2$
• teorema sinusurilor: $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R$
• teorema cosinusului: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$
• arii: $\mathcal{A}=\frac{a{h}_a}{2}$, $\mathcal{A}=\frac{ab\sin \gamma }{2}$
• triunghiul echilateral cu latura $a$: înălțimea $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, aria $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, raza cercului circumscris $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
• unghiul dublu: $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$, relație care rezolvă itemii cu $m(\angle A)=2m(\angle B)$

Proiecții
Proiecția unui punct pe o dreaptă este piciorul perpendicularei din acel punct. Dacă $A$, $M$, $B$ sunt coliniare, cu $M$ mijlocul lui $AB$, iar $A_1$, $M_1$, $B_1$ sunt proiecțiile lor pe o dreaptă $d$ care nu taie segmentul, atunci $M{M}_1=\frac{A{A}_1+B{B}_1}{2}$: este linia mijlocie a trapezului $A{A}_1{B}_{1}B$.

Cercul

• lungimea cercului $L=2\pi R$, aria discului $\pi R^2$
• unghiul înscris are jumătate din măsura arcului cuprins, iar unghiul la centru are măsura arcului
• un unghi înscris de $30^{\circ }$ se sprijină pe un arc de $60^{\circ }$, adică pe a șasea parte din cerc
• coarda subîntinsă de un unghi la centru de $60^{\circ }$ este egală cu raza, fiindcă triunghiul format este echilateral

Patrulatere

• paralelogram: $\mathcal{A}=b\cdot h$, unde $h$ este înălțimea, nu latura oblică
• romb: diagonalele sunt perpendiculare, se înjumătățesc și sunt bisectoare; $\mathcal{A}=\frac{d_1{d}_2}{2}$
• trapez: $\mathcal{A}=\frac{(B+b)h}{2}$

Corpuri

• prisma dreaptă: $\mathcal{V}={\mathcal{A}}_b\cdot H$; muchiile laterale sunt perpendiculare pe bază
• cubul cu muchia $a$: diagonala $a\sqrt{3}$, aria totală $6a^2$
• paralelipipedul dreptunghic: $\mathcal{V}=abc$, aria totală $2(ab+bc+ca)$, diagonala $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
• piramida regulată: înălțimea cade în centrul cercului circumscris bazei, iar $\mathcal{V}=\frac{1}{3}{\mathcal{A}}_{b}H$
• trunchiul de con: $\mathcal{V}=\frac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)$
• conul: $\mathcal{V}=\frac{\pi R^{2}H}{3}$; secțiunea paralelă cu baza dă triunghiuri asemenea, deci $\frac{r}{R}=\frac{H-h}{H}$

Distanțe în spațiu
Distanța de la un punct la o dreaptă se măsoară pe perpendiculara dusă la acea dreaptă. Într-o prismă dreaptă, dacă $BK\perp AC$ în planul bazei, atunci și $B_{1}K\perp AC$, iar $B_{1}K=\sqrt{B{K}^2+B{B}_1^2}$: aceasta este teorema celor trei perpendiculare, pasul pe care baremul îl cere explicit.

Configurațiile care revin în teste

• triunghi dreptunghic isoscel cu cateta $c$: ipotenuza este $c\sqrt{2}$, iar unghiurile ascuțite au $45^{\circ }$
• triunghi echilateral cu latura $a$: înălțimea $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, aria $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, raza cercului circumscris $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ și a celui înscris $\frac{a\sqrt{3}}{6}$
• romb în care înălțimea dusă dintr-un vârf este și mediană: triunghiul format este echilateral, deci latura rombului este egală cu diagonala mică
• coarda subîntinsă de un unghi la centru de $60^{\circ }$ este egală cu raza
• paralelipiped cu dimensiunile în raportul $1:2:3$: scrii $x$, $2x$, $3x$ și folosești aria totală $2(ab+bc+ca)$
• con secționat cu un plan paralel bazei: razele și înălțimile se leagă prin asemănare, $\frac{r}{R}=\frac{H-h}{H}$

Unde se pierd punctele
Baremul plătește separat tocmai pașii pe care candidații îi sar: construirea proiecției unui punct pe o dreaptă, argumentarea că două segmente sunt congruente, scrierea raportului de asemănare din secțiunea axială a conului. Scrie-i explicit, chiar dacă ți se par evidenți: la itemii de $8$ puncte, jumătate din punctaj stă în acești pași intermediari, nu în calculul final.