Геометрия: метрические соотношения, площади и объёмы

Треугольник

• сумма углов равна $180^{\circ }$; теорема Пифагора: $i^2=c_1^2+c_2^2$
• теорема синусов: $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R$
• теорема косинусов: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$
• площади: $\mathcal{A}=\frac{a{h}_a}{2}$, $\mathcal{A}=\frac{ab\sin \gamma }{2}$
• равносторонний треугольник со стороной $a$: высота $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, площадь $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, радиус описанной окружности $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
• двойной угол: $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ — именно это соотношение решает задания с $m(\angle A)=2m(\angle B)$

Проекции
Проекция точки на прямую — основание перпендикуляра, опущенного из этой точки. Если $A$, $M$, $B$ лежат на одной прямой, $M$ — середина $AB$, а $A_1$, $M_1$, $B_1$ — их проекции на прямую $d$, не пересекающую отрезок, то $M{M}_1=\frac{A{A}_1+B{B}_1}{2}$: это средняя линия трапеции $A{A}_1{B}_{1}B$.

Окружность

• длина окружности $L=2\pi R$, площадь круга $\pi R^2$
• вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается, центральный угол равен самой дуге
• вписанный угол в $30^{\circ }$ опирается на дугу в $60^{\circ }$, то есть на шестую часть окружности
• хорда, стягивающая центральный угол в $60^{\circ }$, равна радиусу, так как получается равносторонний треугольник

Четырёхугольники

• параллелограмм: $\mathcal{A}=b\cdot h$, где $h$ — высота, а не наклонная сторона
• ромб: диагонали перпендикулярны, делятся пополам и являются биссектрисами; $\mathcal{A}=\frac{d_1{d}_2}{2}$
• трапеция: $\mathcal{A}=\frac{(B+b)h}{2}$

Тела

• прямая призма: $\mathcal{V}={\mathcal{A}}_b\cdot H$, боковые рёбра перпендикулярны основанию
• куб с ребром $a$: диагональ $a\sqrt{3}$, полная поверхность $6a^2$
• прямоугольный параллелепипед: $\mathcal{V}=abc$, полная поверхность $2(ab+bc+ca)$, диагональ $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
• правильная пирамида: высота падает в центр описанной около основания окружности, а $\mathcal{V}=\frac{1}{3}{\mathcal{A}}_{b}H$
• усечённый конус: $\mathcal{V}=\frac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)$
• конус: $\mathcal{V}=\frac{\pi R^{2}H}{3}$; сечение, параллельное основанию, даёт подобные треугольники, поэтому $\frac{r}{R}=\frac{H-h}{H}$

Расстояния в пространстве
Расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру к этой прямой. В прямой призме, если $BK\perp AC$ в плоскости основания, то и $B_{1}K\perp AC$, а $B_{1}K=\sqrt{B{K}^2+B{B}_1^2}$: это теорема о трёх перпендикулярах, шаг, который схема проверки требует явно.

Конфигурации, которые повторяются в тестах

• прямоугольный равнобедренный треугольник с катетом $c$: гипотенуза равна $c\sqrt{2}$, а острые углы по $45^{\circ }$
• равносторонний треугольник со стороной $a$: высота $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, площадь $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, радиус описанной окружности $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ и вписанной $\frac{a\sqrt{3}}{6}$
• ромб, в котором высота из вершины является и медианой: полученный треугольник равносторонний, поэтому сторона ромба равна меньшей диагонали
• хорда, стягивающая центральный угол в $60^{\circ }$, равна радиусу
• прямоугольный параллелепипед с измерениями $1:2:3$: записываешь $x$, $2x$, $3x$ и используешь полную поверхность $2(ab+bc+ca)$
• конус, рассечённый плоскостью, параллельной основанию: радиусы и высоты связаны подобием, $\frac{r}{R}=\frac{H-h}{H}$

Где теряются баллы
Схема проверки оплачивает отдельно именно те шаги, которые пропускают: построение проекции точки на прямую, обоснование равенства двух отрезков, запись отношения подобия в осевом сечении конуса. Пиши их явно, даже если они кажутся очевидными: в заданиях на $8$ баллов половина балла лежит в этих промежуточных шагах, а не в последнем вычислении.