Функции: графики, линейная и квадратичная функция

Что такое функция
Функция $f:A\to B$ ставит каждому $x$ из $A$ ровно одно значение $f(x)$ из $B$. Вычислить $f(a)$ — значит подставить вместо $x$ число $a$: для $f(x)=3x-5$ получаем $f(4)=3\cdot 4-5=7$.

Нули и точки графика

• нуль функции — решение уравнения $f(x)=0$; в этой точке график пересекает ось $Ox$
• $f(0)$ — точка пересечения с осью $Oy$
• точка $M(a;b)$ принадлежит графику тогда и только тогда, когда $f(a)=b$

Линейная функция
$f(x)=ax+b$, график — прямая:

• $a$ — угловой коэффициент: при $a>0$ функция строго возрастает, при $a<0$ строго убывает, при $a=0$ график горизонтален
• $b$ — начальное значение, то есть $f(0)$
• в тарифах $b$ — это фиксированная плата, а $a$ — стоимость каждой единицы: $f(x)=20+3x$ означает $20$ лей за подачу и $3$ лея за километр
• чтобы найти $x$ по заданному значению, решай уравнение: из $20+3x=50$ получаешь $x=10$

Квадратичная функция
$f(x)=a{x}^2+bx+c$ при $a\ne 0$, график — парабола:

• при $a>0$ ветви вверх и функция имеет наименьшее значение; при $a<0$ ветви вниз и функция имеет наибольшее значение
• вершина: $V\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$, и вторая координата и есть это наименьшее или наибольшее значение
• абсцисса вершины задаёт ось симметрии параболы
• нули находятся из $a{x}^2+bx+c=0$, где $\Delta =b^2-4ac$

Чтение графика

1. 1)Посмотри, что дано: значение на оси $Ox$ или на оси $Oy$.
2. 2)Если дано $y$, иди горизонтально до графика, затем вниз к оси $Ox$; если дано $x$, поднимайся от $Ox$ к графику и читай на $Oy$.
3. 3)Проверь цену одного деления на каждой оси: масштаб не всегда одинаков.

Сравнение двух формул
Когда две суммы заданы через $f(x)$ и $g(x)$:

• момент, когда суммы равны, находится из уравнения $f(x)=g(x)$
• для конкретного значения вычисли $f$ и $g$ в этой точке и сравни полученные числа
• ответ записывай словами задачи, а не одним числом

Точки графика
Точка $M(a;b)$ принадлежит графику тогда и только тогда, когда $f(a)=b$. Отсюда решаются и задания с рамкой: если просят целое число, при котором $M(\square ;3)$ лежит на графике, решаешь уравнение $f(x)=3$ и выбираешь целое решение.

График тарифа
Прямая, не проходящая через начало координат, описывает тариф из двух частей: точка пересечения с осью $Oy$ — это фиксированная плата, а угловой коэффициент — стоимость каждой единицы. Чтобы найти расстояние, идёшь от значения на $Oy$ горизонтально до графика и спускаешься на $Ox$; чтобы найти сумму, проходишь этот путь в обратную сторону.

Квадратичная функция в гимназии
Вершина $V\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$ даёт наименьшее значение при $a>0$ и наибольшее при $a<0$, поэтому любое задание о наибольшем значении начинается с проверки знака $a$.

Где теряются баллы
Баллы теряются при чтении графика, когда путают оси или цену деления, и в самом конце, когда в ответе дают момент равенства вместо того, о чём спрашивает вопрос.