Числа и вычисления: дроби, проценты, степени, корни

Порядок действий
Сначала скобки, затем степени и корни, потом умножение и деление, в конце сложение и вычитание. Знак входит в степень только тогда, когда он стоит в скобках: $(-2{)}^3=-8$, $(-2{)}^2=4$, но $-2^2=-4$.

Целые числа

• произведение и частное двух чисел одного знака положительны, разных знаков — отрицательны
• вычитание — это прибавление противоположного: $2-5=2+(-5)=-3$
• $\frac{12}{-3}=-4$, а $\frac{-8}{4}=-2$

Дроби

• основное свойство: $\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k}$ при $k\ne 0$
• сложение и вычитание требуют общего знаменателя: $\frac{4}{9}-\frac{5}{12}=\frac{16}{36}-\frac{15}{36}=\frac{1}{36}$
• деление на дробь — умножение на обратную ей: $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$

Проценты
$p\%$ от числа $N$ — это $\frac{p}{100}\cdot N$. В задачах сначала запиши пропорцию, а только потом считай:

1. 1)что означает $100\%$;
2. 2)что означает данный процент;
3. 3)найди неизвестное из пропорции.

• «на $20\%$ больше, чем $x$» означает $1,2x$, а неизвестное находится делением на $1,2$
• «на $20\%$ меньше, чем $x$» означает $0,8x$
• проценты не складываются: рост на $20\%$ и затем спад на $20\%$ дают $1,2\cdot 0,8=0,96$, то есть уменьшение на $4\%$

Степени

• $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, ${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$, $(ab{)}^n=a^n{b}^n$
• $a^0=1$ при $a\ne 0$, а $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, поэтому $2^{-2}=\frac{1}{4}$
• отрицательный показатель переворачивает дробь: ${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n}={\left(\frac{b}{a}\right)}^n$, например ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{-2}=\frac{4}{9}$
• приём, который сокращает почти любое вычисление: приведи всё к одному основанию, $32^{0,6}={\left(2^5\right)}^{0,6}=2^3=8$

Корни

• $\sqrt{a^2}=|a|$, $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ при $a\ge 0$, $b>0$
• вынесение множителя: $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$
• избавление от иррациональности через сопряжённое, когда в знаменателе $a\pm \sqrt{b}$: $\frac{39}{4-\sqrt{3}}=\frac{39\left(4+\sqrt{3}\right)}{\left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}=\frac{39\left(4+\sqrt{3}\right)}{13}=3\left(4+\sqrt{3}\right)$
• корень нечётной степени существует и из отрицательных чисел: $\sqrt[3]{-8}=-2$

Сравнение чисел
Приведи их к одному виду: к общему знаменателю, к одному основанию или к десятичной записи. При равных числителях меньше та дробь, у которой знаменатель больше: $\frac{1}{6}<\frac{1}{5}$.

Единицы измерения
$1$ м${}^3$ — это $1000$ литров, $1$ кг — это $1000$ граммов, а $1$ час — это $60$ минут. Переводи единицы до того, как сравнивать или делить.