Ce cere programa
Pagina este pentru profilul umanist. Capitolul XII.5 „Corpuri de rotație” al programei de BAC cere la această temă conul circular drept și trunchiul lui: elementele, secțiunile paralele cu baza și cele axiale, ariile suprafețelor și volumul. Cilindrul și sfera sunt teme separate ale aceluiași capitol. Manualul de clasa a XII-a are pentru acest profil seturi de probleme separate, cu aplicații din viața de toate zilele, de pildă un acoperiș conic sau o căldare. Formulele de mai jos sunt date fără demonstrație, iar tu le înveți pe de rost. La lucrare contează să afli lungimea care îți lipsește și să alegi formula potrivită.
Conul circular drept
Conul stă pe un disc, baza, și are un vârf S în afara planului bazei. Un segment dus din vârf într-un punct al cercului bazei se numește generatoare; segmentul din vârf până la proiecția vârfului pe planul bazei dă înălțimea H. Conul este drept când proiecția vârfului cade chiar în centrul bazei. Atunci toate generatoarele au aceeași lungime G, iar raza R, înălțimea H și generatoarea formează un triunghi dreptunghic:
G2=R2+H2
Același con se obține rotind un triunghi dreptunghic în jurul unei catete: cateta-axă este înălțimea, cealaltă catetă este raza bazei, iar ipotenuza este generatoarea.
Secțiunile conului
- Secțiunea axială (planul conține axa) este un triunghi isoscel. Planul axial taie baza după un diametru, deci laturile egale ale triunghiului sunt G, baza lui este 2R, înălțimea este H, iar aria este R⋅H. Din acest triunghi citești majoritatea datelor.
- Secțiunea cu un plan paralel cu baza este un disc. Dacă planul taie înălțimea într-un punct interior, conul se împarte în două corpuri, iar cel de la vârf este tot un con, cu raza, înălțimea și generatoarea proporționale cu ale conului întreg: RR′=HH′=GG′. Aria bazei se raportă la aria secțiunii ca pătratul raportului înălțimilor, nu ca raportul lor.
Arii și volum la con
Suprafața laterală se desfășoară într-un sector de cerc de rază G, al cărui arc are lungimea 2πR; baza este un disc de rază R. Aria sectorului este aria laterală, iar cu baza obții aria totală.
| Mărime | Formula |
|---|
| aria laterală | AL=πRG |
| aria totală | AT=πRG+πR2=πR(G+R) |
În aria laterală intră generatoarea, în volum intră înălțimea.
Trunchiul de con circular drept
Un plan paralel cu baza, care taie înălțimea unui con într-un punct interior, îndepărtează un con mic; ce rămâne între plan și baza conului este trunchiul. El are două baze, discuri de raze R (cea mare) și r (cea mică). Generatoarea g este porțiunea de generatoare a conului rămasă la trunchi, iar înălțimea h este distanța dintre planele bazelor. Trunchiul este drept când dreapta centrelor bazelor e perpendiculară pe baze; el se obține și rotind un trapez isoscel în jurul dreptei care trece prin mijloacele bazelor. Secțiunea axială este un trapez isoscel cu bazele 2R și 2r, laturile neparalele și înălțimea Dacă cobori înălțimea din capătul bazei mici, ea desparte din baza mare un segment de lungime (jumătate din diferența bazelor și Rezultă triunghiul dreptunghic cu catetele și și ipotenuza
g2=h2+(R−r)2
Un plan paralel cu bazele taie și trunchiul după un disc, fiindcă e paralel și cu baza conului întreg.
Arii și volum la trunchi
| Mărime | Formula |
|---|
| aria laterală | AL=πg(R+r) |
| aria totală | AT=πg(R+r)+πR2+πr2 |
Aria totală are două baze, deci doi discuri. Formulele rezultă din diferența dintre conul întreg C și conul mic C′ îndepărtat: AL(T)=AL(C)−AL(C′) și Când trunchiul e dat prin îl poți completa până la con; înălțimile celor două conuri sunt și
Ordinea de lucru
- 1)Desenează secțiunea axială: triunghi pentru con, trapez pentru trunchi.
- 2)Scrie datele ca R, H, G (sau R, r, h, un diametru se împarte la iar toate lungimile trebuie să fie în aceeași unitate.
