Prisma dreaptă la profilul umanist: arii, volum, secțiuni
Prisma dreaptă la BAC, profilul umanist: elemente, secțiuni, aria laterală, aria totală și volumul, cu formulele din manualul de clasa a XII-a. Vezi cum afli diagonala, înălțimea și latura bazei și ce greșeli costă puncte.
Ce cere programa Pagina este pentru profilul umanist. Capitolul XII.4 „Poliedre” al programei de BAC cere la această temă prisma: elementele ei și clasificarea, la prisma dreaptă secțiunile paralele cu baza și cele diagonale, ariile suprafețelor și volumul. Paralelipipedul drept, deci și cel dreptunghic, și cubul, este o prismă dreaptă, așa că problemele despre el intră aici: ele apar la BAC umanist în lucrările din 2022 și 2023 și în setul de exersare din 2026. Piramida și trunchiul de piramidă sunt alte unități ale programei. Manualul de clasa a XII-a are pentru acest profil seturi de probleme separate, cu aplicații din viața de toate zilele, de pildă vopsirea unui garaj. Formulele de mai jos trebuie știute: la lucrare contează să afli lungimea care îți lipsește și să alegi formula potrivită.
Prisma și elementele ei Prisma are două baze, poligoane congruente așezate în plane paralele. Celelalte fețe sunt fețele laterale, iar muchiile dintre ele sunt muchiile laterale. Muchiile laterale sunt paralele și congruente, deci fețele laterale sunt paralelograme. Înălțimea H este distanța dintre planele bazelor. Prisma poartă numele bazei (triunghiulară, patrulateră, n-unghiulară); cea cu baza de n laturi are 2 baze și n fețe laterale. Diagonala prismei este segmentul dintre două vârfuri care nu stau pe aceeași față.
Clasificare
Prismă dreaptă: muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze. Fețele ei laterale sunt dreptunghiuri, iar muchia laterală l este chiar înălțimea: l=H. Altfel prisma este oblică.
Prismă regulată: prismă dreaptă cu baza poligon regulat (triunghi echilateral, pătrat).
Paralelipiped: prismă cu baza paralelogram. Cel drept, cu baza dreptunghi, este paralelipipedul dreptunghic, iar paralelipipedul dreptunghic cu toate muchiile congruente este cubul.
Secțiuni ale prismei drepte
Un plan paralel cu baza taie prisma după un poligon congruent cu baza, deci cu aceeași arie.
Secțiunea diagonală (la o prismă cu baza de cel puțin 4 laturi) se obține cu un plan dus prin două muchii laterale care nu aparțin aceleiași fețe; în general este un paralelogram. La prisma dreaptă muchiile laterale sunt perpendiculare pe bază, deci și pe diagonala bazei din planul secțiunii: secțiunea este un dreptunghi cu laturile egale cu o diagonală a bazei d și cu înălțimea H. Aria ei este d⋅H.
Arii Aria laterală AL este suma ariilor fețelor laterale, iar aria totală AT este suma ariilor tuturor fețelor. Pentru o prismă dreaptă cu perimetrul bazei P, muchia laterală l și aria bazei
Mărime
Formula
aria laterală
AL=P⋅l
aria totală
AT=AL+2AB
Pentru paralelipipedul dreptunghic cu dimensiunile a,b,c rezultă AT=2(ab+bc+ca), iar pentru cubul cu muchia rezultă
Volumul Volumul prismei este produsul dintre aria bazei și înălțime: V=AB⋅H. La paralelipipedul dreptunghic V=abc, iar la cub V=a3. Toate lungimile se scriu în aceeași unitate; aria iese în cm², volumul în cm³.
Diagonale și unghiuri Într-un paralelipiped dreptunghic pătratul diagonalei este suma pătratelor celor trei dimensiuni: d2=a2+b2+c2. La cub aceasta dă d=a3, iar diagonala unei fețe pătrate este Fața laterală a prismei drepte este un dreptunghi cu laturile (latura bazei) și deci diagonala ei este tot din teorema lui Pitagora.
Unghiul dintre diagonala prismei și planul bazei este unghiul ascuțit dintre diagonală și proiecția ei pe plan. La prisma dreaptă proiecția diagonalei A1C este diagonala bazei AC, fiindcă AA1 este perpendiculară pe bază (proiecția lui A1 este Așa apare triunghiul dreptunghic cu catetele și unghiul este în vârful Un triunghi dreptunghic cu un unghi de este isoscel, deci atunci
Distanța de la un vârf al bazei de sus, de pildă B1, la o latură a bazei de jos, de pildă AC: în baza de jos se duce BM⊥AC,M∈AC. Proiecția dreptei pe baza de jos este iar deci (teorema celor trei perpendiculare). Distanța căutată este
Formule pentru bază Baza este de obicei un triunghi sau un patrulater, iar aria ei vine din planimetrie:
triunghi cu latura a și înălțimea ha:A=21aha; triunghi dreptunghic cu catetele iar ipotenuza este
Ordinea de lucru
1)Desenează prisma și scrie datele: P,l=H,AB.
2)Află mai întâi baza: o latură, o diagonală sau o înălțime a bazei, cu teorema lui Pitagora.
3)Aplică formula cerută; la aria totală nu uita cele două baze.
4)Scrie unitatea: cm² pentru arii, cm³ pentru volum. Lasă radicalul exact, afară de cazul când enunțul cere rotunjire.
Drawings and diagrams
Prismă dreaptă cu baza dreptunghi (paralelipiped dreptunghic); ideea este aceeași pentru orice bază. Linia portocalie A₁C₁ este diagonala bazei de sus. Secțiunea diagonală AA₁C₁C este un dreptunghi cu laturile AC (diagonala bazei) și AA₁ = l = H. Proiecția diagonalei A₁C pe planul bazei este AC, deci unghiul diagonalei cu baza este φ, unghiul din triunghiul dreptunghic AA₁C.
Poliedrul și prisma, elementele prismei (baze, fețe laterale, muchii laterale, înălțime), prisma dreaptă, oblică și regulată, paralelipipedul dreptunghic, diagonalele prismei și diagonala paralelipipedului dreptunghic (d2=a2+b2+c2) cu o problemă. Lecție de clasa a IX-a: definiția prismei este cea din clasa a IX-a, apropiată de cea de la BAC, și lecția nu are formule de arie și volum.
Aria laterală AL=P⋅h cu demonstrația ei, aria totală AT=AL+2AB și volumul V=AB⋅h, cu probleme despre cutii de forma unor prisme și paralelipipedul dreptunghic. Lecție de clasa a IX-a.
Prisma dreaptă triunghiulară, patrulateră și hexagonală regulată, formulele ariei laterale, ariei totale și volumului, apoi două probleme la prisma patrulateră regulată (aria laterală, volumul, diagonala unei fețe laterale, latura bazei din aria laterală). Nu discută secțiunile.
The rest of this topic is in the subscription
The summary, the sources and the videos stay open. With the subscription, this page also opens:
18 flashcards with the facts of the topic, which join your daily review
the topic quiz: 10 questions with answers and explanations
9 ANCE items on this topic, with their marking scheme
Textbook · Ion Achiri, Vasile Ciobanu, Petru Efros, Valentin Garit, Vasile Neagu, Andrei Poștaru, Nicolae Prodan, Dumitru Taragan, Anatol Topală · 2023 · p. 148–153, 161–162, 227–229 (pagini PDF) · in Romanian
Textbook · Ion Achiri, Vasile Ciobanu, Petru Efros, Valentin Garit, Vasile Neagu, Nicolae Prodan, Dumitru Taragan, Anatol Topală · 2020 · p. 254–256 (pagini PDF) · in Romanian
FREIGHT PATH SRL · IDNO 1026600014400 · MD-2002, Republica Moldova, mun. Chișinău, sect. Botanica, bd. Decebal 6 · nota10contact.md@gmail.com
3-D Secure
Source of the tests: the National Agency for Curriculum and Assessment, ance.gov.md. Nota10 is not affiliated with MEC or ANCE. Automatic grading is an estimate, not an official grade.
AB:
a
AT=6a2.
a2.
a
H,
a2+H2,
A).
AA1C,
AC
AA1=H;
φ
C.
45°
AC=H.
B1M
BM,
BM⊥AC,
B1M⊥AC
B1M=H2+BM2.
a,
b:
A=21ab,
c=a2+b2;
triunghi echilateral cu latura a:A=4a23;
romb cu diagonalele d1,d2:A=2d1d2; cu latura a și înălțimea ha:A=a⋅ha. Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc, deci latura lui este ipotenuza unui triunghi cu catetele 2d1 și 2d2;
pătrat cu latura a:A=a2, iar diagonala lui este d=a2.
