Что требует программа
Страница — для гуманитарного профиля. Раздел XII.5 «Тела вращения» программы BAC требует по этой теме прямой круговой конус и усечённый конус: элементы, сечения, параллельные основанию, и осевые, площади поверхностей и объём. Цилиндр и сфера — отдельные темы той же главы. В учебнике 12 класса для этого профиля есть свои наборы задач, в том числе прикладных: коническая крыша, ведро. Формулы ниже даны без доказательства, и их нужно выучить наизусть. На экзамене важно найти недостающую длину и выбрать подходящую формулу.
Прямой круговой конус
Конус стоит на круге — основании — и имеет вершину S вне плоскости основания. Отрезок из вершины в точку окружности основания называют образующей; отрезок от вершины до её проекции на плоскость основания — это высота H. Конус прямой, если проекция вершины попадает в центр основания. Тогда все образующие имеют одну длину G, а радиус R, высота H и образующая G образуют прямоугольный треугольник:
G2=R2+H2
Такой конус получается и при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета: неподвижный катет — высота, второй катет — радиус основания, гипотенуза — образующая.
Сечения конуса
- Осевое сечение (плоскость содержит ось) — равнобедренный треугольник. Осевая плоскость режет основание по диаметру, поэтому равные стороны треугольника — это G, его основание — 2R, высота — H, площадь — R⋅H. Почти все данные задачи видны именно в этом треугольнике.
- Сечение плоскостью, параллельной основанию, — круг. Если плоскость пересекает высоту во внутренней точке, конус делится на два тела, и верхнее из них — тоже конус, у которого радиус, высота и образующая пропорциональны радиусу, высоте и образующей целого конуса: RR′=HH′=GG′. Площадь основания относится к площади сечения как квадрат отношения высот, а не как само отношение высот.
Площади и объём конуса
Боковая поверхность разворачивается в сектор круга радиуса G с длиной дуги 2πR; основание — круг радиуса R. Площадь сектора — это боковая площадь, а вместе с основанием получается полная.
| Величина | Формула |
|---|
| боковая площадь | Aбок=πRG |
| полная площадь | Aполн=πRG+πR2=πR(G+R) |
В боковую площадь входит образующая, в объём — высота.
Усечённый прямой круговой конус
Плоскость, параллельная основанию и пересекающая высоту конуса во внутренней точке, отсекает малый конус; то, что остаётся между плоскостью и основанием конуса, — усечённый конус. У него два основания — круги радиусов R (большее) и r (меньшее). Образующая g — часть образующей конуса, оставшаяся у усечённого конуса, а высота h — расстояние между плоскостями оснований. Усечённый конус прямой, если прямая через центры оснований перпендикулярна им; его получают и вращением равнобедренной трапеции вокруг прямой, соединяющей середины оснований. Осевое сечение — равнобедренная трапеция с основаниями 2R и 2r, боковыми сторонами и высотой Если опустить высоту из конца меньшего основания, она отсечёт на большем основании отрезок длиной (половина разности оснований и Получается прямоугольный треугольник с катетами и и гипотенузой
g2=h2+(R−r)2
Плоскость, параллельная основаниям, режет усечённый конус тоже по кругу, потому что параллельна и основанию целого конуса.
Площади и объём усечённого конуса
| Величина | Формула |
|---|
| боковая площадь | Aбок=πg(R+r) |
| полная площадь | Aполн=πg(R+r)+πR2+πr2 |
В полной площади два основания, то есть два круга. Формулы получаются как разность целого конуса C и отсечённого малого конуса C′: Aбок(T)=Aбок(C)−Aбок(C′) и Когда усечённый конус задан числами его можно достроить до конуса: высоты двух конусов равны и
Порядок работы
- 1)Начерти осевое сечение: треугольник для конуса, трапеция для усечённого конуса.
- 2)Выпиши данные как R, H, G (или R, r, h, диаметр дели на а все длины приводи к одной единице.
