Mathematics, BAC · Profil real · Analiză matematică · Funcții numerice

Funcția de gradul I și funcția de gradul II: grafic și proprietăți

Funcția de gradul I și funcția de gradul II pentru profilul real: graficul, panta, zerourile, monotonia, semnul și extremele. Aici ai regulile programei, un exemplu rezolvat și greșelile care costă puncte.

This topic is in Romanian.

What the program asks for
What you need to know
Videos
Flashcards
Topic quiz
At the exam

What you need to know

Ce cere programa
Pagina urmează ramura profilului real a programei de bacalaureat (secțiunea X.5, „Funcții numerice”). Pentru funcția de gradul I programa cere graficul, proprietățile și panta dreptei, pentru funcția de gradul II — graficul și proprietățile.

Funcția de gradul I
Are forma $f(x)=ax+b$ , cu $a\ne0$ . Numărul $a$ este panta (coeficientul unghiular) graficului. Graficul este o dreaptă. Ca s-o construiești, ajung două puncte, de obicei intersecțiile cu axele; intersecția cu axa $Oy$ se află calculând $f(0)$ , adică $b$ .

Cazul	Monotonia pe $\mathbb{R}$
$a>0$	strict crescătoare
$a<0$	strict descrescătoare
$a=0$	constantă (nu mai este funcție de gradul I)

Zeroul funcției este $x=-\dfrac ba$ . Semnul lui $f$ îl afli rezolvând inecuațiile $ax+b>0$ și soluțiile primei dau ale celei de-a doua dau Pentru obții proporționalitatea directă, iar graficul ei trece prin origine.

Punctele graficului verifică ecuația $y=ax+b$ . Dacă graficul trece prin $(x_1;\,y_1)$ și scrii și scazi egalitățile și obții (pentru apoi află Este calcul algebric pe baza definiției graficului, nu o regulă separată din manual.

Funcția de gradul II
Are forma $f(x)=ax^2+bx+c$ , cu $a\ne0$ . Graficul se obține din parabola lui prin două translații, deci este tot o parabolă. Translațiile mută graficul fără să-l răsucească, așa că ramurile rămân orientate ca la în sus pentru și în jos pentru Vârful este unde ordonata se poate afla și ca cu Dreapta este axa de simetrie. Forma canonică este

	$a>0$	$a<0$
ramurile	în sus	în jos
punctul $x_0$	de minim	de maxim
valoarea extremă	$-\dfrac\Delta{4a}$

Zerourile și semnul
Zerourile funcției sunt soluțiile reale ale ecuației $ax^2+bx+c=0$ , adică abscisele punctelor în care parabola taie $Ox$ . Discriminantul hotărăște câte sunt:

$\Delta>0$ : două zerouri, $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$ ;

Pentru $\Delta>0$ și zerourile $x_1$ , $x_2$ , relațiile lui Viète le leagă de coeficienți: $x_1+x_2=-\dfrac ba$ și Graficul taie axa în punctul

Semnul valorilor funcției:

$\Delta<0$ : semnul lui $a$ pentru orice $x\in\mathbb{R}$ ;
$\Delta=0$ : semnul lui $a$ pentru orice

Cum trasezi graficul
Afli intersecțiile cu axele (zerourile din ecuația asociată și $f(0)$ ), apoi vârful și axa de simetrie, completezi tabelul de variație cu aceste abscise și trasezi parabola. Din tabel citești monotonia și extremele.

Cum le folosești la BAC
Manualul rezolvă inecuațiile de gradul II prin două metode; una este studiul funcției: mulțimea soluțiilor lui $ax^2+bx+c>0$ depinde de semnul lui $a$ și de $\Delta$ . Când o ecuație, o inecuație sau semnul unei derivate te duc la un trinom de gradul II, aplici aceleași reguli: zerourile, apoi semnul.

Ce verifici înainte de a calcula

Dacă $a$ conține un parametru, vezi dacă $a=0$ este posibil: atunci funcția nu mai este de gradul II.
Calculează $\Delta$ înainte de a scrie zerourile; la $\Delta<0$ nu există zerouri reale.
Pentru un extrem pe un segment, verifică întâi dacă vârful $x_0$ aparține segmentului. Dacă nu aparține, segmentul se află într-un interval de monotonie din tabelul de mai sus și extremele sunt în capete.

Funcția de gradul I și funcția de gradul II: grafic și proprietăți

What the program asks for

What you need to know

Videos

The rest of this topic is in the subscription

Sources

Who stands behind this page