Математика, BAC · Реальный профиль · Математический анализ · Числовые функции

Функция I степени и функция II степени: график и свойства

Функции I и II степени для реального профиля: график, угловой коэффициент, нули, монотонность, знак и экстремумы. Здесь правила программы, разобранный пример и ошибки, которые стоят баллов.

Что требует программа
Что нужно знать
Видео
Карточки
Тест по теме
На экзамене
Источники

Что нужно знать

Что требует программа
Страница написана по ветке реального профиля программы BAC (раздел X.5 «Числовые функции»). Для функции I степени программа требует график, свойства и угловой коэффициент прямой, для функции II степени — график и свойства.

Функция I степени
Функция имеет вид $f(x)=ax+b$ , где $a\ne0$ . Число $a$ — угловой коэффициент графика. График — прямая. Чтобы построить её, достаточно двух точек, обычно это точки пересечения с осями; пересечение с осью $Oy$ находят, вычисляя $f(0)$ , то есть $b$ .

Случай	Монотонность на $\mathbb{R}$
$a>0$	строго возрастает
$a<0$	строго убывает
$a=0$	постоянная (функцией I степени уже не является)

Нуль функции — $x=-\dfrac ba$ . Знак $f$ находят, решая неравенства $ax+b>0$ и решения первого дают решения второго — При получается прямая пропорциональность, и её график проходит через начало координат.

Точки графика удовлетворяют уравнению $y=ax+b$ . Если график проходит через $(x_1;\,y_1)$ и запиши и вычти равенства и получи (при затем найди Это алгебраический расчёт по определению графика, а не отдельное правило из учебника.

Функция II степени
Функция имеет вид $f(x)=ax^2+bx+c$ , где $a\ne0$ . График получается из параболы двумя параллельными переносами, поэтому это тоже парабола. Переносы сдвигают график, не поворачивая его, так что ветви направлены так же, как у вверх при и вниз при Вершина — где ординату можно найти и как где Прямая — ось симметрии. Канонический вид:

	$a>0$	$a<0$
ветви	вверх	вниз
точка $x_0$	минимума	максимума
экстремальное значение	$-\dfrac\Delta{4a}$

Нули и знак
Нули функции — действительные решения уравнения $ax^2+bx+c=0$ , то есть абсциссы точек, в которых парабола пересекает $Ox$ . Сколько их, решает дискриминант:

$\Delta>0$ : два нуля, $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$ ;

При $\Delta>0$ и нулях $x_1$ , $x_2$ их связывают с коэффициентами соотношения Виета: $x_1+x_2=-\dfrac ba$ и График пересекает ось в точке

Знак значений функции:

$\Delta<0$ : знак $a$ для любого $x\in\mathbb{R}$ ;
$\Delta=0$ : знак $a$ для любого

Как построить график
Найди точки пересечения с осями (нули из соответствующего уравнения и $f(0)$ ), затем вершину и ось симметрии, заполни таблицу изменения функции этими абсциссами и проведи параболу. По таблице читают монотонность и экстремумы.

Как это применяется на BAC
Учебник решает неравенства II степени двумя методами; один из них — исследование функции: множество решений $ax^2+bx+c>0$ зависит от знака $a$ и от $\Delta$ . Когда уравнение, неравенство или знак производной приводят к трёхчлену II степени, применяй те же правила: сначала нули, потом знак.

Что проверить до вычислений

Если $a$ содержит параметр, посмотри, возможно ли $a=0$ : тогда функция перестаёт быть функцией II степени.
Вычисли $\Delta$ до того, как записывать нули; при $\Delta<0$ действительных нулей нет.
Для экстремума на отрезке сначала проверь, принадлежит ли отрезку вершина $x_0$ . Если не принадлежит, отрезок лежит в промежутке монотонности из таблицы выше, и экстремумы — на концах.

Функция I степени и функция II степени: график и свойства

Что требует программа

Что нужно знать

Видео

Остальное по теме — в подписке

Источники

Кто отвечает за страницу