Mathematics, BAC · Profil real · Analiză matematică

Funcții reale: proprietăți, compunere, funcția inversă

Funcția, domeniul și valorile ei, monotonia, paritatea, periodicitatea, mărginirea, compunerea și inversa. Reguli, un exemplu de nivel BAC și trei itemi: unul din exersarea 2026, doi din lucrările reale 2024.

This topic is in Romanian.

What the program asks for
What you need to know
Videos
Flashcards
Topic quiz
At the exam
Sources

What you need to know

Ce cere programa
La profilul real, programa de BAC (X.4) cere noțiunea de funcție, modurile de definire și graficul, apoi proprietățile: monotonia, paritatea, periodicitatea, mărginirea, zerourile și extremele. Urmează operațiile cu funcții, compunerea și funcțiile inversabile.

Funcția și mulțimile ei
O funcție are trei componente, scrise $(A,B,f)$ : domeniul $A$ , codomeniul $B$ (două mulțimi nevide) și o regulă $f$ care alege, pentru fiecare $x\in A$ , exact un $y\in B$ . Domeniul se notează $D(f)$ . Mulțimea valorilor $E(f)=f(A)$ cuprinde doar valorile care chiar apar, deci $E(f)\subseteq B$ .

Două funcții sunt egale numai când au același domeniu, același codomeniu și aceleași valori: $x\mapsto|x|$ cu codomeniul $\mathbb{R}$ și $x\mapsto|x|$ cu codomeniul $\mathbb{R}_+$ sunt funcții diferite.

Zerouri și monotonie
Zeroul lui $f$ este un număr $\alpha$ cu $f(\alpha)=0$ . Pe grafic, lui îi corespunde punctul $(\alpha;0)$ , comun cu axa $Ox$ (graficul poate și doar să atingă axa, ca în

Pentru $x_1<x_2$ dintr-un interval $I\subseteq D(f)$ , funcția este crescătoare dacă $f(x_1)\le f(x_2)$ și descrescătoare dacă Cu inegalitate strictă ( respectiv funcția este strict crescătoare, respectiv strict descrescătoare. Funcția de gradul II cu este strict descrescătoare pe și strict crescătoare pe pentru sensurile se schimbă.

Paritate
Verifici întâi domeniul: dacă $x\in D$ , trebuie ca și $-x\in D$ . Dacă domeniul nu e simetric față de origine, funcția nu este nici pară, nici impară. Apoi calculezi $f(-x)$ : funcția este pară dacă $f(-x)=f(x)$ și impară dacă pentru orice Geometric: la o funcție pară, odată cu punctul se află pe grafic și la una impară, odată cu se află pe grafic și De aceea graficul pare are axa ca axă de simetrie, iar cel impar are centrul de simetrie în origine.

Periodicitate
Funcția este periodică dacă există $T\ne0$ astfel încât $x\pm T\in D$ și $f(x\pm T)=f(x)$ pentru orice Dacă este perioadă, atunci și ( este perioadă: de pildă și tot așa mai departe. Când există, cea mai mică perioadă pozitivă se numește perioada principală; funcția constantă nu o are, fiindcă orice este perioadă a ei.

Mărginire și extreme
Funcția este mărginită inferior dacă există un număr real $m$ (minorant) cu $m\le f(x)$ pentru orice $x$ din domeniu, și mărginită superior dacă există $M$ (majorant) cu $f(x)\le M$ . Mărginită, simplu, înseamnă mărginită și inferior, și superior. Funcția cu este mărginită inferior, dar nu superior; minorantul se află scriind trinomul cu pătrat perfect.

Punctul $a\in D(f)$ este punct de maxim local (minim local) dacă există o vecinătate $V_\varepsilon(a)$ în care $f(x)\le f(a)$ (respectiv pentru orice din vecinătate care aparține domeniului; maximurile și minimurile locale sunt extremele locale.

Valoarea maximă (cea mai mare valoare) a funcției se stabilește în două mișcări: arăți că $f(x)\le M$ pentru orice $x$ din domeniu, apoi găsești un $x_0$ cu $f(x_0)=M$ . Pentru valoarea minimă lucrezi la fel, cu și un punct în care se atinge.

Operații cu funcții
Suma, produsul și câtul se definesc punctual: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ , $(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$ , cu Dacă și au domenii diferite și ai nevoie de suma sau de produsul lor, lucrezi pe

Compusa $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ se aplică de la dreapta la stânga: întâi $f$ , apoi $g$ . Pentru $f\colon A\to B$ și ea este definită când adică codomeniul lui intră în domeniul lui Dacă incluziunea este falsă, compusa nu se poate defini: de exemplu nu există când are codomeniul iar are domeniul În general dar compunerea este asociativă.

Funcția inversă
Funcția $g$ este inversa lui $f\colon A\to B$ dacă $g(y)=x\Leftrightarrow f(x)=y$ . Pentru o funcție dată prin formulă procedezi astfel:

1)din $y=f(x)$ îl exprimi pe $x$ prin $y$ ;
2)dacă $x$ se exprimă unic, funcția este inversabilă;
3)schimbi între ele $x$ și $y$ și obții

Dacă un $y$ din codomeniu are două preimagini sau niciuna, nu se poate defini inversa pe acel domeniu. Manualul arată că formula $|x|$ nu dă o funcție inversabilă pe $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , dar o dă pe $\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$ : restrângerea domeniului și a codomeniului poate repara situația.

Pentru $f^{-1}$ avem $D(f^{-1})=E(f)$ și $E(f^{-1})=D(f)$ . Graficele lui și sunt simetrice față de dreapta iar dacă este strict crescătoare (descrescătoare), la fel este Atenție: nu este

Funcții reale: proprietăți, compunere, funcția inversă

What the program asks for

What you need to know

Videos

The rest of this topic is in the subscription

Sources

Who stands behind this page