Funcția exponențială și logaritmică la profilul umanist: grafic, monotonie

Funcția exponențială și funcția logaritmică la BAC, profilul umanist: definiții, grafice, domeniu, monotonie și comparări. Pagina urmează programa umanistă, cu pașii pe care îi plătește baremul.

This topic is in Romanian.

What the program asks for
What you need to know
Drawings and diagrams
Videos
Flashcards
Topic quiz
At the exam
Sources
3 more parts — in the subscription

What the program asks for

X.3. Funcții
Noțiunea de funcţie exponenţială. Graficul funcției exponențiale.
Proprietățile funcției exponențiale.
Noțiunea de funcţie logaritmică. Graficul funcției logaritmice.
Proprietățile funcției logaritmice.
Aplicații ale funcției exponențiale și ale funcției logaritmice în viața cotidiană, fizică, tehnică, construcții, arte, tehnologii, biologie, medicină, sociologie.

What you need to know

Ce cere programa la profilul umanist
Pagina este pentru lucrarea de BAC la matematică, profilul umanist (programa „Profil umanist”, unitatea X.3 „Funcții”). Programa cere funcția exponențială și funcția logaritmică: noțiunea, graficul, proprietățile și aplicațiile. Proprietățile se deduc din desenul graficului și/sau din formulă. Logaritmul unui număr și regulile lui de calcul sunt altă temă a programei (unitatea X.1); aici lucrezi cu funcția.

Funcția exponențială
Funcția $f\colon\mathbb{R}\to(0;+\infty)$ , $f(x)=a^x$ , cu baza $a>0$ și $a\ne1$ , este funcția exponențială. La BAC aceeași funcție apare și scrisă $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ (itemul 10 din 2024 și din 2025); atunci $(0;+\infty)$ rămâne mulțimea valorilor $E(f)$ . Necunoscuta stă în exponent: $2^x$ și $\left(\dfrac13\right)^x$ sunt exponențiale, iar $x^2$ nu este. La $a=1$ ar ieși funcția constantă $1^x=1$ , de aceea baza $1$ se exclude.

Proprietățile ei:

$D(f)=\mathbb{R}$ și $E(f)=(0;+\infty)$ : puterea $a^x$ este pozitivă pentru orice deci graficul stă numai deasupra axei

Funcția logaritmică
Inversa exponențialei de bază $a$ este funcția logaritmică: $y=\log_a x\Leftrightarrow a^y=x$ . Deci $f\colon(0;+\infty)\to\mathbb{R}$ , cu și Față de exponențială, domeniul și mulțimea valorilor sunt schimbate între ele.

$D(f)=(0;+\infty)$ și $E(f)=\mathbb{R}$ . De aceea argumentul unui logaritm trebuie să fie strict pozitiv: pentru $\log_a u(x)$ scrii condiția

În manual, graficele lui $2^x$ și $\log_2 x$ , ca și ale lui $\left(\dfrac12\right)^x$ și sunt simetrice față de dreapta (bisectoarea cadranelor I și III).

	$a^x$	$\log_a x$
Domeniul	$\mathbb{R}$	$(0;+\infty)$

Compararea: monotonia în lucru
O funcție strict monotonă păstrează sau întoarce ordinea. Pentru exponențială și pentru logaritm (la logaritm $\alpha,\beta>0$ ):

$a>1$ : $a^\alpha>a^\beta\Leftrightarrow\alpha>\beta$ și sensul inegalității rămâne.

Drumul la o întrebare de monotonie sau de comparare, în trei pași (metoda paginii, desprinsă din baremele subiectelor de mai jos, nu o regulă din manual):

1)Adu baza la o formă simplă: un exponent cu minus se mută în bază, $a^{-x}=\left(\dfrac1a\right)^x$ , iar numitorul cu radical se raționalizează.
2)Compară baza cu $1$ .

O putere se compară cu $1$ ca valoare a exponențialei într-un punct. Exemple din manual: $\left(\dfrac15\right)^{\sqrt5}<1$ , fiindcă baza este sub și exponentul la exponent negativ comparația se întoarce, de aceea Două puteri cu baza se compară prin exponenți: Doi logaritmi cu aceeași bază se compară prin argumente; dacă bazele diferă, le aduci la aceeași bază cu regulile logaritmilor, iar dacă semnele diferă, compari fiecare cu

Aplicații
O mărime care crește cu $b\%$ pe perioadă urmează $y=a\left(1+\dfrac{b}{100}\right)^x$ , iar una care scade cu urmează aici este suma inițială, iar perioada de timp. Exponențiala descrie înmulțirea bacteriilor, schimbarea populației și schimbarea presiunii atmosferice cu altitudinea; logaritmul apare la pH-ul soluțiilor, la scara Richter și la decibeli.

Înainte să scrii răspunsul
Verifică baza ( $a>0$ , $a\ne1$ ), argumentul logaritmului ( $>0$ ) și dacă baza este mai mare sau mai mică decât $1$ . Baremul plătește pe etape (baza adusă la forma simplă, compararea cu concluzia), deci scrie-le pe toate.

Funcția exponențială și logaritmică la profilul umanist: grafic, monotonie

What the program asks for

What you need to know

Drawings and diagrams

Videos

The rest of this topic is in the subscription

Sources

Who stands behind this page