Ce cere programa
Pagina este scrisă pentru profilul umanist, unde matematica se dă la solicitare; manualul pune sub același titlu exercițiile profilurilor umanist, arte și sport. La tema XI.1 programa cere: noțiunea de șir de numere reale, șiruri finite și infinite, șiruri monotone, progresia aritmetică și progresia geometrică, cu proprietățile și aplicațiile lor. Limita șirului nu se află în această listă.
Ce este un șir
Un șir de numere reale este o funcție definită pe numerele naturale nenule: fiecărui n≥1 îi corespunde un singur număr real, termenul de rang n, notat xn. Șirul întreg se scrie (xn)n≥1. Funcția poate fi definită și doar pe un număr finit de ranguri consecutive: atunci șirul este finit; dacă rangurile nu se opresc, șirul este infinit.
Un șir se dă în trei feluri:
- prin formula termenului general: din an=3n−2 afli orice termen punând rangul în locul lui n, deci a1=1,
Șiruri monotone
Un șir este crescător dacă xn≤xn+1 pentru orice n și descrescător dacă xn≥xn+1. Când inegalitățile sunt stricte, șirul este strict crescător, respectiv strict descrescător. „Monoton” este numele comun al șirurilor crescătoare și al celor descrescătoare. Pentru a decide, studiezi semnul diferenței pentru orice Un șir poate să nu fie monoton: dă
Progresia aritmetică
Este un șir în care de la un termen la următorul treci mereu cu același pas r, rația: an+1=an+r. Primul termen a1 și rația determină tot șirul. Dacă progresia crește strict; dacă scade strict; dacă este constantă.
- Termenul general: an=a1+(n−1)⋅r. Către termenul de rang n adaugi de ori.
Progresia geometrică
Primul termen este nenul, iar de la un termen la următorul treci mereu înmulțind cu același număr nenul q, rația: bn+1=bn⋅q. Și aici b1 și determină tot șirul.
- Termenul general: bn=b1⋅qn−1, cu exponentul n−1.
| Rația și primul termen | Progresia geometrică |
|---|
| b1>0, q>1 sau b1<0, 0<q<1 |
Aplicații
Dacă de la un pas la altul o mărime se schimbă cu aceeași valoare, ai o progresie aritmetică; dacă se schimbă de același număr de ori, ai una geometrică. Asta rezultă direct din cele două definiții. Manualul pune la profilul umanist exerciții cu pas constant: rândurile unui amfiteatru, cu câte 20 de locuri mai mult în fiecare rând următor, și piloni de seră, fiecare cu 3 dm mai înalt decât precedentul. Tot acolo este o problemă de depozit bancar: 2700 de lei la 9% pe an, cu dobânda adăugată în fiecare an la sumă. Dacă la suma S se adaugă 9% din ea, ea devine Deci în fiecare an suma se înmulțește cu același număr, iar sumele de la an la an formează o progresie geometrică.
Cum alegi calea
Acestea sunt sfaturi de lucru ale paginii, nu reguli din manual. Uită-te mai întâi la ce se dă. „Termeni consecutivi” cheamă proprietatea caracteristică (a+c=2b sau b2=a⋅c). Doi termeni dați cheamă un sistem în a1 și (sau și scris cu formula termenului general. O sumă cheamă formula sumei. Dacă te întreabă câți termeni verifică o inegalitate sau dacă un număr este termen al șirului, rezolvi în și păstrezi doar rangurile naturale nenule.
